Dotierung


x Motivation & Überblick
x Ladungsneutralität
x Bedingungsgleichungen
x Näherung vollständig ionisierter Störstellen
x Minoritäten&Majoritäten
x Lebensdauern in dotierten Halbleitern
x Teilweise ionisierte Störstellen

x Passende Störstellen

Motivation & Überblick


  • Das "Dotieren" wollen wir verwenden, um eine Vorzugsrichtung für den Energietransport in Solarzellen zu definieren und um Metall-Halbleiter-Kontakte zu verbessern.
  • Bei der Betrachtung der Rekombination über Störstellen hat sich gezeigt, dass es günstig wäre, die Gleichgewichtskonzentrationen des intrinsischen Halbleiters zu verschieben: Wenn eine Konzentration viel kleiner als die andere ist, kann die Rekombinationsrate R_SRH gering gehalten werden.
  • Daher suchen wir einen Weg um die Gleichgewichtskonzentrationnen des Massenwirkungsgesetzes zu verschieben.
  • Dieser Weg soll ohne Beleuchtung und ohne angelegte Spannung auskommen; der "verschobene Zustand" soll keine stetige Energiezufuhr benötigen, sondern eine Eigenschaft des Halbleiter-Materials sein.
  • Der Einbau einer genau passenden Menge einer geeigenten Defektart in den richtigen Teilbereich eines Halbleiterkristalls heißt "den Kristall dotieren"; alles andere heißt "den Kristall versauen". [MatWis]

  • Angenommen es gelingt uns, die Konzentration p durch Dotieren zu vergrößern, was geschieht dann mit der Konzentration n? Das Massenwirkungsgesetz besagt, dass die eine Konzentration kleiner wird, wenn wir die andere erhöhen. Das Konzentrationsprodukt bleibt konstant.
  • Wie können wir die Konzentrationen n und p eines "dotierten Halbleiters" berechnen?




  • Die entscheidenden Fragen sind also:
  1. Wie wirkt sich das Dotieren auf die Zustandsdichten aus?
  2. Was geschieht mit den Quasi-Fermieenergien beim Dotieren?
  • Die erste Frage ist meistens relativ einfach zu beantworten: Innerhalb der Bänder (über deren Energiebereiche wir ja integrieren wollen) tut sich nichts.
  • Typische Dotierkonzentrationen liegen im Bereich von 10^15 1/cm^3 bis 10^19 1/cm^3. Das ist im Vergleich zur Dichte der Gitteratome (etwa 10^23 1/cm^3) sehr wenig. Durch die geringe Beimischung wird die chemische Natur des Halbleiters nicht merklich geändert. Die Energien der Zustände von Elektronen und Löchern in den Bändern bleiben daher (näherungsweise) unbeeinflusst [Würfel].

  • Dagegen wird die Zustandsdichte innerhalb der Bandlücke, die im intrinsichen Fall null ist, durchs Dotieren verändert.
  • Die Zustandsdichte bei der Störstellenenergie E_t entspricht gerade der Dichte N_t der Störstellen. Dabei wird angenommen, dass jede Störstelle genau einen besetzbaren Zustand bei der Energie E_t (genauer: innerhalb eines kleinen Intervalls um E_t herum) liefert.
  • Da diese Veränderungen der Zustandsdichte außerhalb der Integrationsgrenzen erfolgen, gehen sie aber nicht in die obigen Formeln für die Konzentrationen der freien Ladungsträger ein.
  • Der direkte Einfluss der Dotierung auf n und p erfolgt also nur über die Veränderungen der Quasi-Fermienergien.

  • Für die Antwort auf die zweite Frage können die Bedingung der Ladungsneutratlität und das Massenwirkungsgesetz ausgenützt werden.
  • Aus ihnen ergeben sich zwei Bedingungs-Gleichungen für die Quasi-Fermienergien.
  • Theoretisch könnten wir diese Gleichungen nach den Quasi-Fermienergien auflösen. Dann hätten wir E_(F, n) und E_(F, p) und könnten n und p mit Hilfe der Integrale berechnen.
  • Leider sind diese Bedingungs-Gleichungen nicht analytisch lösbar.
  • Zum Glück gibt es bei Raumtemperatur aber Näherungen, die uns die Arbeit erleichtern und die analytische Berechnung von n und p doch noch erlauben.
  • Ansonsten (bei anderen Temperaturen) könnten wir numerische Verfahren verwenden oder die Quasi-Fermienergien grafisch ermitteln.
  • Bei diesen "schwierigen Temperaturen" gibt es in der Literatur wiederum zwei Ansätze:
  1. Näherungsweise werden alle Besetzungswahrscheinlichkeiten in den Bedingungs-Gleichungen mit Fermi-Dirac-Verteilungen modelliert.
  2. Die genaueren (durch den Spin der Elektronen beeinflussten) Besetzungswahrscheinlichkeiten für die Störstellen werden verwendet.

  • Allgemein können wir jeweils zwei Fälle unterscheiden, bei denen durchs Dotieren dem Leitungsband zusätzliche Elektronen -- oder dem Valenzand zusätzliche Löcher hinzugefügt werden.
  • Ist auch beides gleichzeitig möglich? Nein, denn das würde das Massenwirkungsgesetz sprengen.
  • In der Praxis wird Silizium oft mit Bor und Phosphor gleichzeitig dotiert. Entscheidend für die verschobenen Gleichgewichtskonzentrationen wird dann die Differenz der Dotierstoffkonzentrationen sein, eine Arte "effektive Dotierung".
  • Der kürzlich abgeleitete SRH-Formalismus sollte uns auch Informationen übers Dotieren liefern können. Dies betrachten wir im letzten Abschnitt diesen Kapitels. Fürs Dotieren sind besonders flache Störstellen geeignet, die den freien Ladungsträgern kaum zusätzliche Möglichkeiten zur Rekombination bieten.


Ladungsneutralität


  • Um die Quasi-Fermienergien zu bestimmen, verwenden wir die Bedinung der Ladungsneutralität.
  • Da wir dem Halbleiter beim Dotieren nur neutrale Elemente hinzufügen, muss seine Gesamtladungsdichte null bleiben.
  • Bei einem homogenen Material gilt diese Bedingung der Ladungsneutralität auch für jedes kleine Volumen dV des Halbleiters.
  • So bald es Inhomogenitäten / Vorzugsrichtungen für einen Energietransport gibt, gilt die Bedingung der lokalen Ladungsneutralität nicht mehr. Ladungsträger werden bewegt und es bilden sich geladene Bereiche im Halbleiter.
  • Die mit der Bedingung der Ladungsneutralität abgeleiteten Formeln gelten daher streng genommen nur in homogenen (Bereichen von) Halbleitern.
  • Zu einer lokalen Ladungsdichte tragen bei: die negativen Elektronen des Leitungsbands, die positiven Löcher des Valenzbands, negativ geladene Akzeptoren, positiv geladene Donatoren und die Nettoladung von zusätlichen geladenen Störstellen. Die entsprechenden Dichten sind:



  • Oft sind "restliche geladene Störstellen" nicht vorhanden oder zu vernachlässigen.
  • Die lokale Ladungsdichte ρ ergibt sich mit der Elementarladung e dann zu:



  • Um zunächst allgemein zu bleiben schreiben wir die Gleichung so auf:



  • In einem homogenen Halbleiter gilt überall ρ = 0:




Bedingungsgleichungen


  • Wir betrachten nicht-entartete Halbleiter ohne äußere Energiezufuhr, so dass das einfache Massenwirkungsgesetz gilt.
  • Mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes lässt sich n bzw. p in der Gleichung der Ladungsneutralität elimilieren, so dass wir zwei Bedingungsgleichungen für die Quasi-Fermieenergien erhalten:



  • Für die Dichten der geladenen ("ionisierten") Störstellen gibt es nun verschiedene Ansätze.


Näherung vollständig ionisierter Störstellen


  • Der am häufigsten gewählte Ansatz für die Dichten der geladenen Störstellen entspricht der Näherung der vollständigen Ionisation.
  • Dabei wird davon ausgeganen, dass wirklich alle hinzugefügen Donator-Störstellen ein Elektron ans Leitungsband abgeben und alle hinzugefügen Aktzeptor-Störstellen ein Elektron vom Valenzband aufnehmen.
  • Wieso ist diese Näherung so erfolgreich? Um das zu verstehen, kann abgeschätzt werden, wie viel Energie nötig ist, um z.B. einem Phosphoratom in einem Siliziumgitter das fünfte Elektron zu entziehen.
  • Dazu wird das Phosphoratom in der Literatur sehr häufig vereinfacht als Wasserstoffatom mit angepassten Naturkonstanten betrachtet. Die berechnete Ionisierungsenergie beträgt einige 10 meV. (Das kann der Leser glauben, oder er betrachtet das angepasste Wasserstoffmodell und vertraut dann darauf, dass der angegebene Wert der Dielektrizitätskonstante für Silizium stimmt.)
  • Der "gag" ist, dass die Energie eines Elektrons aufgrund der Wärmebewegungen des Kristalls bei Raumtemperatur auch schon in der gleichen Größenordnung liegt (k T ≈ 25 meV).
  • Nach diesen Abschätzungen (auf einen Faktor 2 oder 3 kommt es dabei nicht an) kann man dann annehmen, dass fast alle Dotieratome ihren Zweck erfüllen (Abb. 9.1):





Abb. 9.1: Vollständig ionisierte Störstellen.

  • Um unserem angestrebten Rechenweg treu zu bleiben, müssten wir diese Gleichungen nun nach den Quasi-Fermienergien auflösen und ins Integral einsetzen.
  • Wir können aber auch direkt nach den verschobenen Gleichgewichts-Konzentrationen auflösen und nehmen dabei an, dass n_Rest unabhänig von n und p ist:





  • Um Formeln aus der Literatur hier besonders leicht wieder finden zu können sei auch noch diese Schreibweise erwähnt:



  • Wenn wir nur Akzeptoren und Donatoren betrachten (zusätzliche Störstellen vernachlässigen) werden die Gleichungen zu:



  • Die negativen Lösungen der quadratischen Gleichungen wurden weggelassen, da sie keinen physikalischen Sinn ergeben.
  • Wenn wir dem Halbleiter gleich viele Donatoren und Akzeptoren hinzufügen, ändert sich nichts an den ursprünglichen Gleichgewichtskonzentrationen.
  • Für die "Füllstandsanzeiger" des dotierten Halbleiters gilt immer noch:



  • Wir betrachten nun die beiden Sonderfälle, bei denen jeweils nur eine Art von Dotierstoff vorhanden ist.
  • Mit Akzeptoren dotierter (p-Typ) Halbleiter (N_D = 0):



  • Mit Donatoren dotierter (n-Typ) Halbleiter (N_A = 0):



  • In der Praxis werden Dotierstoffkonzentrationen eingesetzt, die deutlich größer als die intrinsiche Konzentration n_i sind.
  • Damit vereinfachen sich die Gleichungen für die verschobenen Gleichgewichtskonzentrationen bei Raumtemperatur.
  • Mit Akzeptoren dotierter (p-Typ) Halbleiter, N_A >> n_i, N_D = 0:



  • Mit Donatoren dotierter (n-Typ) Halbleiter, N_D >> n_i, N_A = 0:



  • Bevor wir teilweise ionisierte Störstellen behandeln, kommen noch einige andere Aspekte des Dotierens...


Minoritäten&Majoritäten


  • Wir betrachten als Beispiel einen Halbleiter, der mit einer Konzentration von 10^16 1/cm^3 Phosphoratomen dotiert wurde.
  • Die Konzentrationen der freien Ladungsträger betragen dann bei Raumtemperatur etwa:



  • In einem mit Phosphor dotieren Halbleiter sind die Elektronen in deutlicher Überzahl.
  • Die freien Ladungsträger, die in der Überzahl sind, werden allgemein als Majoritätsladungsträger (Majoritäten) bezeichnet; die anderen als Minoritätsladungsträger (Minoritäten).
  • Vorsicht: Ein phosphordotierter Halbleiter ist kein p-Typ Halbleiter, sondern ein n-Typ Halbleiter. Das kleine p steht ja nicht für Phosphor, sondern für die positiven Löcher, die bei einem p-Typ Halbleiter vorwiegend vorhanden sind.
  • Im phosphordotierten n-Typ Halbleiter sind die Elektronen die Majoritäten und die Löcher die Minoritäten.
  • In einem mit Bor dotiertem p-Typ Halbleiter sind umgekehrt die Löcher die Majoritätsladungsträger und die Elektronen die Minoritätsladungsträger.



Lebensdauern in dotierten Halbleitern


  • Ein dotierter Halbleiter werde beleuchtet und es werden dabei Überschussladungsträger erzeugt.
  • Nach Abschalten der Beleuchtung wird der Anfangszustand wieder hergerstellt. In einem intrinsischen Halbleiter geschieht dies für beide Ladungsträgersorten gleich schnell. Ist dies beim dotierten Halbleiter auch noch der Fall? Sind die Minoritäts- und die Majoritätsladungsträger-Lebensdauern identisch, oder nicht?
*

Teilweise ionisierte Störstellen






Passende Störstellen

  • Bei der Rekombination über Störstellen haben wir Störstellen betrachtet, die entweder neutral oder einfach negativ geladen sind.
  • Solche Störstellen bezeichnet man als "Akzeptor-Störstellen" oder kurz "Akzeptoren", da sie im neutralen Ausgangszustand ein Elektron aufnehmen können.
  • Störstellen, die entweder neutral oder positiv geladen sein können, bezeichnen wir als Donatoren. "Sie können dem Halbleiter Elektronen spenden".
  • Bleiben wir zunächst bei den schon verwendeten Akzeptoren, die bei T = 0 K alle neutral geladen wären.

  • Wir möchten nun erreichen, dass möglichst viele dieser Störstellen mit Elektronen aus dem Valenzband besetzt werden (n_t nähert sich an N_t an).
  • Dabei würden schön viele zusätzliche Löcher im Valenzband entstehen.
  • Gleichzeitig möchten wir den Übergang von Elektronen aus besetzten Störstellen ins Leitungsband möglichst vermeiden.
  • Die Konzentration der Löcher im Valenzband soll vergrößert werden, ohne dass sich die Konzentration der Elektronen im Leitungsband auch vergrößert. Ist das möglich?
  • Welche Bedingungen müssen für die Teilraten G_1, R_1, G_2, R_2 (Abb. 8.6) gelten, um dieses Ziel erreichen zu können?
  • Welche Art von Störstellen (E_t, σ_n, σ_p) ist dazu geeignet?
  • Das Hinzufügen zusätzlicher Löcher zum Valenzband soll ohne Beleuchtung funktionieren.
  • Wir betrachten die Raten im thermischen Gleichgewicht, ohne Beleuchtung (statischer Zustand, G = 0).
  • Dann "verschwindet" die SRH-Rekombinationsrate (R_SRH = G = 0).
  • Damit erhalten wir zwischendurch mal wieder eine Bestätigung des Massenwirkungsgesetzes:


  • Für die Teilraten muss außerdem gelten:



  • Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge:




...






  • Fremdatome können in ein Kristallgitter auf zwei Arten eingebracht werden. Entweder befinden sich die Fremdatome dann auf Zwischengitterplätzen (interstitiell) oder sie ersetzen den Platz von Gitteratomen (substitutional).
  • Atome der III. und V. Gruppe des Periodensystems werden substitutional ins Gitter eingefügt.
  • Bei einem Element aus der V. Gruppe werden 4 Elektronen im Gitter kovalent gebunden. Das fünfte Elektron befindet sich in einer anderen Situation. Da es nicht kovalent gebunden ist, befindet es sich nicht im Valenzband. Da es zunächst am Atom gebunden ist, kann es sich nicht frei durchs Gitter bewegen. Es ist also auch nicht im Leitungsband.

  • Man könnte erwarten, dass dieses fünfte Elektron leichter zu befreien ist als ein Elektron aus einer kovalenten Bindung. Das ist in der Tat der Fall. Man kann die nötige Energie grob abschätzen, indem man das Modell für ein Wasserstoffatom heranzieht. Beim Wasserstoffatom gilt für die Ionisierungsenergie:


  • Wir ersetzen m0 durch die effektive Masse (≈ 0,2 m0), setzen die Dielektrizitätskonstante für Silizium ein (≈ 12 ε0) und erhalten Ei' ≈ 0,02 eV.
Das fünfte Elektron ist beinahe frei und sein Energieniveau liegt knapp unter dem Leitungsband.
  • Abschätzung der mittleren Energie eines Teilchens bei Raumtemperatur:

E_T ≈ k T ≈ 0,025 eV . => gleiche Größenordnung wie Ei'

  • In ähnlicher Weise entsteht ein „leicht gebundenes Loch“, wenn man ein Atom der III. Gruppe (Akzeptor) einbringt. Das Energieniveau liegt knapp über dem Valenzband.
  • Bei n-dotiertem Material: Bei Raumtemperatur sind nahezu alle fünften Elektronen der Donatoren frei beweglich (ND- ≈ ND ). Die Anzahl der intrinsischen Elektronen ist meist viel geringer. Daher kann näherungsweise angenommen werden, dass die Dichte der freien Elektronen der Dichte der Donatoratome entspricht: n ≈ N_D