Einige Lösungen


x Motivation

x Statische, homogene Generation mit Angabe von Gradienten
..* Überschusskonzentration der Minoritäten
....- Ungleiche ORGs
....- Rekombinationsstromdichten
....- Zusammenfassung
....- Effektive Lebensdauer
....- Gleiche ORGs
..* Überschusskonzentration der Majoritäten und elektrisches Potential

x Statische, homogene Generation mit Angabe von Absolutwert und Gradient

x Statische, exponentielle Generation mit Angabe von Absolutwert und Gradient

x Statische Oberflächengeneration

x Lichtblitz mit homogener Generation
x Lichtblitz mit Generationsprofil



Motivation

  • So langsam vervollständigt sich unser Handwerkszeug zum Lösen der Hauptgleichungen...
  • Die analytischen Lösungen, die in diesem Kapitel beschrieben werden, haben nur grob etwas mit der komplizierten Realität zu tun.
  • Sie stellen aber eine Art Baukasten dar. Mit Hilfe der einzelnen Bausteine lassen sich schon sehr interessante Effekte diskutieren.
  • Die Bausteine sollen helfen, ein "Gefühl" für die Verhältnisse in Halbleitern zu gewinnen.
  • Mit Hilfe einiger Applets (Applet 13.1, ...) kann der Einfluss der Parameter auf die analyitschen Modelle spielerisch erprobt werden.


Statische, homogene Generation mit Angabe von Gradienten



  • Anhand diesen ersten Beispiels wird aufgezeigt, wie der Verlauf der Überschuss-Ladungsträger-Konzentration in Halbleitern mit Hilfe der genäherten Hauptgleichungen und linearen Randbedingungen analytisch berechnet werden kann.
  • Als Randbedingungen werden die Steigungen der Minoritäten-Überschusskonzentration an den Rändern vorgegeben.
  • Die Konzepte der "Diffusionslänge", der "Effektiven Lebensdauer" und der "Rekombinationsstromdichte" werden anhand des Beispiels erläutert.

Überschusskonzentration der Minoritäten


  • Für eine eindimensionale Berechnung stellen wir uns eine dünne, unendlich ausgedehnte Siliziumscheibe vor (Abb. 13.1).
  • In der Nähe der realen Oberflächen (an den Stellen x = 0 und x = L ) ziehen wir virtuelle Ebenen durch den Halbleiter.
  • Die (Ober-)Flächenrekombinationsgeschwindigkeiten auf den unendlich ausgedehnten Oberflächen sollen unabhängig vom Ort sein: S(x = 0, y, z) = S_0 und S(x = L, y, z) = S_L.
  • Wir rechnen zunächst mit einer konstanten Generationsrate: G(x, y, z) = G_0.
  • Das lässt sich in der Praxis näherungsweise erreichen, wenn langwelliges Licht auf einen dünnen Halbleiter fällt.
  • Das meiste Licht wird durch den Halbleiter hindurchgehen.
  • Näherungsweise werden überall im Halbleier gleich viele Elektronen und Löcher pro Volumen und Zeit generiert.
  • Die konstante Generationsrate soll so gering sein, dass sich der Halbleiter in Niedriginjektion befindet.
  • Die freien Ladungsträger können im Volumen rekombinieren oder auch zu den Oberflächen wandern und dort rekombinieren.


Ungleiche ORGs


  • Zunächst betrachten wir die Berechnung des allgemeineren Falls, bei dem die beiden Oberflächen unterschiedlich beschaffen sind.
  • Weiter unten führen wir die Berechnung noch eimal für den Sonderfall gleicher ORGs durch. Dies ist eine gute Übung und hilft, Formeln aus der Literatur hier wieder zu finden.



Abb. 13.1: Dünne, unendlich ausgedehnte Siliziumscheibe.

  • Wir gehen von einem homogen dotierten p-Typ-Halbleiter mit einer Bor-Dotierkonzentration N_A aus.
  • N_A soll deutlich größer als die intrinsische Konzentration sein und gleichzeitig klein genug, um den Halbleiter nicht zu degenerieren:



  • Bei Raumtemperatur sollen näherungsweise alle Dotieratome ionisiert sein, so dass ohne Netto-Generation gilt:



  • An den Oberflächen und im Volumen sollen keine zusätzlichen Ladungen vorhanden sein und es soll keine äußeren elektrischen Felder geben.
  • Neben n und p tragen nur die ionisierten Dotieratome zur Ladungsdichte bei.
  • Mit n_Rest = N_A können wir die Poissongleichung schreiben als:



  • Damit wir analytische Lösungen finden können, sollen die Netto-Rekombinationsraten im Volumen und an den Oberflächen lineare Funktionen der Überschusskonzentrationen sein.
  • Die genäherte Kontinuitiätsgleichung für die Überschuss-Minoritätsladungsträger (=Minoritäten-Diffusionsgleichung) lautet:



  • Die Randbedingungen der virtuellen Ebenen an den Stellen x = 0 und x = L sollen lauten:



  • Das negative Vorzeichen bei der rechten Randbedingung wurde gewählt, da dort eine negative Steigung der Überschusskonzentration vermutet wird (wir nehmen an, dass am Rand die Konzentration geringer ist als in der Mitte).

  • Die Differentialgleichung für die Minoritäten hat die Form:



  • Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung (inhom. DGL) mit der Störfunktion s(x).
  • Die Netto-Generationsrate und die Minoritäten-Lebensdauer sollen nicht vom Ort abhängen.
  • Dann ist die Störfunktion eine Konstante: s(x) = s_0.

  • Die allgemeine Lösung einer inhom. DGL lässt sich als die Summe aus der allgmeinen Lösung der homogenen DGL und einer partikulären Lösung der inhom. DGL schreiben. (Hört sich komplizierter an als es ist).
  • Die homogene DGL (=ohne Störfunktion) lautet:



  • In unserem Fall ist das:



  • Die Gleichung lässt sich so lesen: "Zur Lösung brauchen wir Funktionen, die zweimal abgeleitet fast wieder die gleichen Funktionen ergeben."
  • Wir finden folgende allgemeine Lösung der hom. DGL (durch Einsetzen überprüfen):



  • Eine partikuläre Lösung der ursprünglichen, inhom. DGL erraten wir als (wieder durch Einsetzen überprüfen):



  • Beim Raten der partikulären Lösung hilft es, mit einem Ausdruck anzufangen, der der Störfunktion s(x) ähnelt.
  • Die allgemeine Lösung der inhomognen DGL lautet also:



  • Später werden wir die mittlere Überschusskonzentration brauchen. Der arithmetische Mittelwert der Überschusskonzentration in der Scheibe ist:



  • Der Maximalwert der Überschusskonzentration liegt an der Stelle x_m vor, an der die Ableitung zu null wird:




  • Die Koeffizienten A und B bestimmen wir nun mit Hilfe der Randbedingungen.
  • Die linke Randbedingung liefert:



  • Aus der rechten Randbedingung erhalten wir:



  • Wir führen zwei Abkürzungen ein:



  • Und rechnen weiter:



  • B kann noch in den Ausdruck für A eingesetzt werden, so dass die beiden Koeffizienten A und B nun bekannt sind.
  • In Applet 13.1 wird die analytische Lösung für die Überschusskonzentration der Minoritäten dargestellt.




Download:

Applet 13.1: Überschusskonzentration bei konstanter Netto-Generationsrate.

  • Für die Initialisierung wird links eine Flächenrekombinationsgeschwindigkeit von S_0 = 1000 cm/s angenommen.
  • Das könnte z.B. einer Oberfläche entsprechen, die mit einer Siliziumoxidschicht bedeckt wurde.
  • Durch geschickte Oberflächenbehandlungen kann S in der Praxis auf bis zu etwa 10 cm/s gesenkt werden.
  • Oberflächen, bei denen S verkleinert wurde, bezeichnet man als "passiviert".
  • An der rechten virtuellen Ebene wurde eine sehr rekombinationsaktive Oberfläche angenommen.
  • Die Ladungsträger an der Oberfläche rekombinieren quasi instantan.
  • Die Flächenrekombinationsgeschwindigkeit S_L entspricht der thermischen Geschwindigkeit von etwa 10^7 cm/s, also der maximalen Geschwindigkeit, mit der die Ladungsträger die Oberfläche erreichen können.
  • Im Applet wird der Wert der Überschusskonzentration, der maximal ohne Oberflächen erreicht werden könnte (= G tau_n) blau eingezeichnet .
  • Der tatsächliche Verlauf Δn_p(x) wird dunkelorange dargestellt.
  • Der arithmetische Mittelwert Δn_(p, av) ist hellorange eingezeichnet.
  • Die Stelle x_m des Maximalwerts wird durch eine schwarze Markierung auf der x-Achse gekennzeichnet.


  • Häufig wird in der Literatur folgende Größe eingeführt, die wir Diffusionslänge nennen:



  • Wir bezeichnen folgende Größe als "Diffusionslänge der Elektronen", oder in unserem Beispiel eines p-Typ-Halbleiters auch als "Minoritäten-Diffusionslänge":



  • Diese Länge ist ein Maß dafür, innerhalb welcher Wegstrecke sich die Überschusskonzentration verändern kann und wie weit der Einfluss der Oberflächen ins Volumen reicht. Für das obige Beispiel beträgt die Diffusionslänge ca. 190 µm.
  • Je größer die Minoritäts-Ladungsträger-Lebendauer τ_n eines Materials ist, desto größer ist die Minoritäten-Diffusionslänge L_n und desto größer ist der Einfluss der Oberflächen auf den Verlauf der Überschusskonzentration im Volumen.

  • Für die Überschusskonzentrationen an den virtuellen Ebenen gilt:



  • Für den Verlauf der Minoritäten-Diffusions-Stromdichte j_n(x) gilt:





Rekombinationsstromdichten


  • Um zu beurteilen, welcher Anteil der generierten Überschussminoritäten im Volumen rekombiniert und welcher Anteil an den Oberflächen rekombiniert, führen wir zunächst eine "Pseudo-Stromdichte" j_G ein.
  • In einem Stück Halbleiter wird durch die Generationsrate eine bestimmte Anzahl N von Teilchen pro Volumen und Zeit generiert.
  • Wenn wir diese Anzahl mit der beleuchteten Fläche A und der Zeit t normieren, erhalten wir eine Größe, die von der Einheit her einem Teilchenstrom entspricht.
  • Multiplizieren wir noch mit der Elementarladung, erhalten wir von der Einheit her eine elektrische Stromdichte:



  • Dies ist keine wirkliche elektrische Stromdichte, die an einem bestimmten Ort in eine bestimmte Richtung fließt, sondern nur eine nützliche Umschreibung der Anzahl der generierten Überschussladungsträger.
  • (Wenn im Volumen und an der rechten virtuellen Ebene keine Ladungsträger rekombinieren würden, würde diese Pseudo-Elektronen-Stromdichte in die linke virtuelle Ebene fließen. Da gleichzeitig auch genau so viele Löcher in die Ebene fließen um dort zu rekombinieren, entsteht aber keine elektrische Stromdichte.)
  • Bei dem Initialisierungs-Beispiel in Applet 13.1 wird eine Pseudostromdichte von j_G = 4,8 x 10^(-6) A/cm^2 generiert.
  • An der linken virtuellen Ebene oder im Bereich dahinter rekombiniert eine Anzahl von Teilchen, die einer Stromdichte von | j(0) | = 6,6 x 10^(-7) A/cm^2 entspricht. An der rechten virtuellen Ebene (im rechten Randbereich) beträgt die "Rekombinationsstromdichte" | j(L) | = 2,5 x 10^(-6) A/cm^2.
  • Der Rest der Ladungsträger muss irgenwie im Volumen rekombinieren. Dies drücken wir auch mit Hilfe einer Stromdichte aus:



  • Mit Hilfe der mittleren Überschusskonzentration Δn_(p, av) kann diese "Volumen-Rekombinationsstromdichte" j_V geschrieben werden als:



  • An der linken virtuellen Ebene rekombiniert im obigen Beispiel ein Anteil der generierten freien Elektronen von j_n(0) / j_G ≈ 14 %, im Volumen j_V / j_G ≈ 34 % und rechts j_n(L) / j_G ≈ 52 %.
  • Wenn die Generation G(x) der Überschussladungsträger nicht homogen erfolgt, entstehen andere Anteile.
  • Werden z.B. in der Nähe der rechten Ebene weniger Ladungsträger erzeugt, werden dort auch weniger Ladungsträger rekombinieren.
  • Die Anteile sind allgemein auch von den Absolutwerten der Generationsrate G(x) abhängig, da S nicht wirklich eine Konstante ist, sondern von der Ladungsträgerinjektion abhängt: S = S(Δn). Nichtlineare Randbedingungen würden uns die Lösung der Hauptgleichungen aber erschweren.
  • Bei realen Solarzellen sind die Verhältnisse also noch deutlich komplizierter als in Applet 13.1. Wir tasten uns langsam voran...


Zusammenfassung


  • Hier werden die bisherigen Ergebnisse als Formeln zusammengefasst:




Effektive Lebensdauer


  • Die Lebensdauer von Ladungsträgern wurde für ein kleines Volumen dV bei einer homogenen Verteilung der Ladungsträger definiert:



  • Im Stück Halbleiter aus dem obigen Beispiel "leben" die Ladungsträger wegen der Oberflächen nicht so lange, wie sie es ohne tun würden.
  • Es liegt nahe, nach einer "effektiven" Lebensdauer zu fragen, die dieses Verhalten beschreibt.
  • An dieser Stelle verwenden wir eine Abschätzung für einen Sonderfall um die effektive Lebensdauer einzuführen.
  • Später wird es noch einen allgemeineren Zugang geben.
  • Wir definieren eine effektive Lebensdauer für das gesamte Volumen V inclusive der virtuellen Ebenen mit:



  • Wir betrachten einen Sonderfall, bei dem die Oberflächen sehr gut passiviert sind und die Überschusskonzentrationen an den Rändern nur wenig von den Überschusskonzentrationen im Volumen abweichen:



  • Die effektive Rekombinationsrate setzt sich aus drei Anteilen zusammen. Ohne Oberflächen wäre die effektive Rekombinationsrate:



  • An der linken virtuellen Ebene ergibt sich die Anzahl der rekombinierenden Ladungsträger pro Zeit formal als Produkt aus Flächenrekombinationsrate R^A und Fläche A:



  • Wenn man den "Effekt der Flächen-Rekombination näherungseise gleichmäßig auf das Volumen verteilen kann", ergibt sich eine entsprechende Volumenrekombinationsrate R^V von:



  • Für die rechte Ebene ergibt sich ein ähnlicher Anteil, so dass für die effektive Rekombinationsrate gilt:



  • Wenn die Überschusskonzentrationen näherungsweise alle als etwa gleich groß angenommen werden, ergibt sich eine effektive Lebensdauer von:



  • Sind beide Oberflächen gleich gut passiviert (S_0 = S_L = S), kann man für die inverse effektive Lebensdauer schreiben:



  • Das ist eine wichtige Formel, die uns später bei der Ermittlung der sogenannten Emittersättigungsstromdichte j_0e wieder begegnen wird.


Gleiche ORGs


  • Wenn eine Aufgabenstelleung eine Symmetrie besitzt, kann die Rechnung durch eine geeignete Wahl des Koordinatensystems oft vereinfacht werden.
  • Wir betrachten den Sonderfall homogener Generation, bei dem beide Oberflächen gleich passiviert sind noch einmal von Anfang an, da sich dabei schöne Formeln ergeben.
  • Wen diese "Wiederholung" nicht interessiert, kann weiter nach unten zu den Majoritäten scrollen...
  • Wir legen diesmal den Nullpunkt für die Ortskoordinate x in die Mitte der Siliziumscheibe und stellen die Randbedingungen für die Stellen x = - L / 2 und x = L / 2 auf:



  • Folgende Abkürzungen werden gleich noch nützlich sein:



  • Die allgemeine Lösung der Minoritäten-Diffusionsgleichung bleibt im Prinzip die gleiche. Wir verwenden nur andere Bezeichnungen für die Koeffizienten:



  • Man könnte wegen der Symmetrie gleich sagen, dass der ungerade Anteil der Funktion verschwinden muss (A* = 0).
  • Das ergibt sich auch aus den Randbedingungen:



  • Addieren und Subtrahieren der beiden Gleichungen liefert:



  • Die erste Gleichung wird nur für A* = 0 erfüllt und aus der zweiten Gleichung folgt:



  • Die Lösung für die Überschusskonzentration der Minoritäten lautet damit:



  • Die Überschusskonzentrationen der Minoritäten an den Rändern, die mittlere Überschusskonzentration usw. kann ähnlich wie oben für den allgemeinen Fall berechnet werden.


Überschusskonzentration der Majoritäten und elektrisches Potential


  • So, jetzt haben wir uns ziemlich viel mit den Minoritäten beschäftigt. Wie sieht es mit den Majoritäten aus?
  • Die genäherte Kontinuitätsgleichung für die Überschuss-Majoritätsladungsträger ist:



  • Um damit weiter zu kommen bräuchten wir das elektrische Potential φ.
  • Dieses wird durch die Poissongleichung beschrieben, welche wiederum die Konzentration der Majoritäten enthält:



  • Die Poissongleichung kann umgeschrieben werden in:



  • Die Dielektrizitätskonstante ε nehmen wir als ortsunabhängig an:



  • Daraus ergibt sich für die Überschusskonzentration der Majoritäten folgender Ausdruck:



  • Setzen wir Δp_p in die Kontinuitätsgleichung der Majoritäten ein, erhalten wir eine Gleichung, die nur noch φ als unbekannte Größe enthält:



  • Leider ist diese Gleichung anscheinend nicht einfach analytisch nach dem elektrischen Potential φ auflösbar.
  • Hmm, und was nun? Wie siehen das elektrische Potential und die Majoritäten-Überschusskonzentration in einem homogenen Halbleiter bei homogener Generation aus?
  • Wir suchen Funktionen Δp_p(x) und φ(x), die zumindest näherungsweise die Poissongleichung und die Kontinuitätsgleichung für die Majoritäten erfüllen.
  • Wir können ja mal einige Funktionen raten und schauen, wie sich diese Funktionen auf die Gleichungen auswirken...
  • Für symmetrische Randbedinungen müssen sich gerade Funktionen als Lösung ergeben.

  • Als ersten Ansatz wählen wir ein konstantes elektrisches Potential: φ(x) = C.
  • Alle Ableitungen nach dem Ort wären dann null und die Poissongleichung liefert Δp_p(x) = Δn_p(x).
  • Das alles in die Kontinuitätsgleichung eingesetzt sollte eine wahre Aussage liefern, wenn unsere Annahme für φ(x) richtig war:



  • Welch "überraschendes" Ergebnis: Wenn die Diffusionskonstanten für Elektronen und Löcher gleich sind, ergeben sich für Elektronen und Löcher die gleichen Profile für die Überschusskonzentrationen. Die Ladungen heben sich überall auf, so dass sich ein konstantes elektrisches Potential ergibt.
  • Umgekehrt gilt: Wenn die Diffusionskonstanten unterschiedlich sind (das sind sie) kann das elektrische Potential nicht konstant sein!
  • Allerdings weichen die Diffusionskonstanten in Silizium nicht sehr stark voneinander ab, so dass sich näherungsweise eine wahre Aussage ergibt.
  • So viel erst einmal zu den Majoritäten und dem elektrischen Potential. (Kennt jemand eine bessere analyitsche Lösung?)


Quasi-Ferminiveaus

  • In Abb. 13.2 wird das Bänderdiagramm eines homogen dotierten p-Typ Halbleiters gezeigt. Die Oberflächenrekombinationsgeschwindigkeiten werden als gleich groß angenommen und wir betrachten den Halbleiter bei statischer homogener Generation.

Banddiagramm_homogen.png
Abb. 13.2 Banddiagramm eines p-Typ-Halbleiters in Niedriginjektion.

  • Die Quasiferminiveaus des nicht entarteten Halbleiters sind:



  • Mit den bekannten Lösungen für die Überschussdichten und der Bedingung Δp_p << p_(p, 0) ergibt sich für Abb. 13.2:




Statische, homogene Generation mit Angabe von Absolutwert und Gradient


  • Bisher wurden die Randbedingungen für die Lösung der Kontinuitätsgleichungen mit Hilfe von ORGs formuliert; an beiden Rändern wurde die Steigung der Teilchenkonzentrationen vorgegeben.
  • Nun wollen wir an der linken virtuellen Ebene einen Absolutwert als Randbedingung vorgeben:



  • Wann so eine Randbedingung auftauchen kann / Sinn macht und woher die virtuelle Spannung U_n (0) kommt, wird später noch diskutiert. Momentan geht es nur darum, einen weiteren "Lösungsbaustein" kennen zu lernen.
  • Am rechten Rand behalten wir die Angabe der Steigung mit Hilfe einer ORG bei:



  • Die allgemeine Lösung der Minoritäten-Diffusionsgleichung lautet wieder (nun mit den Koeffizienten A° und B° ):




  • Die linke Randbedingung liefert:



  • Die rechte Randbedingung ergibt:



  • Wir führen wieder Abkürzungen ein und schreiben weiter:



  • Damit lautet die Lösung für die Überschusskonzentration der Minoritäten:



  • Es gibt noch eine andere Darstellung dieser Lösung, die auf einen anderen Lösungsweg beruht.
  • Dieser Lösungsweg nützt das Superpositionsprinzip aus und ist auch für kompliziertere Fälle nützlich.
  • Die DGL und Randbedingungen werden dabei als (näherungsweise) linear angenommen.
  • Als erstes betrachten wir einen Spezialfall ohne Generation (G = 0) und mit einer virtuellen Spannung am linken Rand (U_n (0) ≠ 0).
  • Diesen Spezialfall bezeichen wir als "Injektionsfall".
  • Danach wird die Lösung für den sogenannten "Generationsfall" gesucht. Dabei gilt dann U_n (0) = 0 und G ≠ 0.
  • Die Lösung für den allgemeinen Fall U_n (0) ≠ 0 und G ≠ 0 ergibt sich dann als Summe der beiden Lösungen.
  • (Wie durch die Linearität vorausgesetzt ergeben sich die allgemeinen Randbedingungen auch als Summe der beiden Sonderfall-Randbedingungen.)
  • Als Lösungsansatz für den Injektionsfall wählen wir unseren alten Lösungsansatz für die homogene DGL:



  • Die linke Randbedingung liefert:



  • Die rechte Randbedingung ergibt (mit den gleichen Abkürzungen wie oben):



  • Damit ist die Lösung für den Injektionsfall (Wir nehmen an, dass sie unabhängig vom Generationsprofil G(x) im Generationsfall ist):



  • Als Lösungsansatz für den Generationsfall wählen wir den gleichen allgemeinen Ansatz wie beim ersten Weg:



  • Die linke Randbedingung liefert diesmal:



  • Die rechte Randbedingung sieht ähnlich wie beim ersten Lösungsweg aus:



  • Damit ist die Lösung für den Generationsfall:



  • Die Gesamtlösung für die Überschusskonzentration der Minoritäten lautet schließlich:



  • Diese Darstellung der Lösung ist zwar länger, erlaubt dafür aber auch eine neue Interpretation.
  • Der Sinn dieser Übung war es, die Ausnutzung des Superpositionsprinzips für die Lösung von DGLs einzuführen.
  • Die Lösung kann durch Vergleich mit dem ersten Lösungsansatz auf Richtigkeit überprüft werden.
  • Beim nächsten Beispiel mit exponentieller Generation wird direkt das Superpositionsverfahren verwendet.
  • Folgende Abkürzung bezeichnen wir als "Geometriefaktor" f:



  • Damit kann die Lösung auch geschrieben werden als:



  • Der zugehörige Verlauf der Minoritätenstromdichte ist:



  • Wir brechen die Betrachtung der homogenen Generation hier nun ab, da sie sich auch als Sonderfall der Beschreibungen im folgenden Abschnitt auffassen lässt (siehe auch Applet 13.2).



Statische, exponentielle Generation mit Angabe von Absolutwert und Gradient


  • Die Generation von Elektron-Loch-Paaren in einer realen Solarzelle wird alles andere als konstant über den Querschnitt sein: in der Nähe der Zellvorderseite werden mehr freie Ladungsträger generiert als der an der Seite, die der Beleuchtungsquelle abgewandt ist.
  • Um reale Generationsprofile anzunähern, kann man mehrere "einfach"-exponentielle Generationsprofile überlagern.
  • Die jeweiligen analytischen Lösungen der Minoritäten-Diffusionsgleichung sind nach diesem Kapitel bekannt.
  • Wenn das Superpositionsprinzip gilt kann dann daraus die Gesamtlösung berechnet werden, die den realen Verlauf der Überschusskonzentration annähert.
  • Nach dem "Baustein" der konstanten Generation betrachten wir deshalb nun eine Generationsrate, die von der linken virtuellen Ebene aus mit einer charakteristischen Konstante L_α exponentiell abfällt:



  • Wenn der Parameter L_α (die "Eindringtiefe") sehr groß ist, geht das Generationsprofil in eine Konstante über.
  • Für sehr geringe Eintringtiefen werden dagegen "nur direkt neben der virtuellen Ebene" freie Ladungsträger generiert.
  • Die Minoritäten-Diffusionsgleichung lautet nun:



  • Damit ist die Störfunktion s(x) der DGL nicht mehr eine Konstante sondern eine Exponentialfunktion.
  • Die Lösung für die homogene DGL lautet immer noch:



  • Und die Lösung für den Injektionsfall (mit virtueller Spannung, ohne Generation) ist immer noch:



  • Für den Generationsfall benötigen wir allerdings einen neuen Lösungsansatz. Auf der Suche nach einer partikulären Lösung bei vorhandener Generation wählen wir einen Ansatz, der der Störfunktion ähnelt:



  • Durch Einsetzen in die DGL kann der Koeffizient C so bestimmt werden, dass dies tatsächlich eine partikuläre Lösung ist:



  • Die allgemeine Lösung für die inhomogene DGL (für den Generationsfall) ist damit:



  • Die linke Randbedingung sieht dann für den Generationsfall so aus:



  • Die rechte Randbedingung liefert schließlich noch den Parameter A:



  • Damit ist die Lösung für den exponentiellen Generationsfall:



  • Wenn das Superpositionsprinzip gilt, ergibt sich für die Gesamtlösung bei gleichzeitig vorhandener virtueller Spannung und Generation:



  • Für den Granzfall, dass L_α unendlich groß wird, geht das Ergebnis wieder in den gleichen Ausdruck wie bei der homogenen Generation über.
  • Wenn das Superpositionsprinzip nicht gilt (die DGLs oder die Randbedingungen nicht linear sind), sollten der Generationsfall und der Injektionsfall nicht getrennt voneinander betrachtet werden.
  • Zur Lösung der DGL werden dann numerische Verfahren eingesetzt.



Applet 13.2: Statische exponentielle Generation mit virtueller Spannung und ORG als Randbedingungen.


  • Für die Überschusskonzentrationen an den virtuellen Ebenen gilt:



  • Für den Verlauf von j_n(x) gilt: