Elektronen & Löcher


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Übergänge von Elektronen


Nun haben wir schon fast alles zusammen, was wir zur Berechnung der Teilchenkonzentrationen benötigen. Bevor wir dies im nächsten Kapitel tun, kommen hier noch einige Informationen zu Bandstrukturen (Dispersionsrelationen), Löchern und dem Begriff des Banddiagramms.
  • Wenn ein verfügbarer "Platz" in einem Festkörper mit einem Elektron besetzt ist, muss das Elektron nicht unbedingt auf ewig dort verbleiben: Unter bestimmten Bedingungen kann es auch auf einen anderen Platz wechseln (Abb. 6.0).


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Abb. 6.0: Einige Übergänge von Elektronen.

  • Dazu muss es einen weiteren, verfügbaren Platz geben. Der "Startplatz" muss belegt sein und der "Zielplatz" für einen Übergang darf nicht schon mit einem Elektron besetzt sein.
  • Beim Übergang von einem Platz auf einen anderen muss die Energieerhaltung und die Impulserhaltung berücksichtigt werden.
  • Wechselt ein Elektron zu einem energetisch niedriger gelegenen Platz, muss es die überschüssige Energie abgeben. Das kann es z.B. in Form eines Photons tun oder indem es Energie an den Festkörper abgibt ("das Elektron gibt ein Phonon ab") oder indem es die Energie an ein weiteres Elektron überträgt.
  • Eigentlich ist Abb. 6.0 also unvollständig, da nur Pfeile für Elektronen eingezeichnet sind. Die anderen beteiligten Teilchen, die für Impuls- und Energieerhaltung sorgen, werden im Bild noch nicht repräsentiert.
  • Soll ein Elektron in einen höher gelegenen Zustand wechseln, muss man ihm irgendwie Energie zufügen. Das kann z.B. durch das Sonnenlicht geschehen. Öfters hat das Kristallgitter durch seine Temperatur genug Energie für einen zufälligen "Kick" nach oben. Oder, oder... es gibt da so einige Möglichkeiten.
  • Für die Auswirkungen der Elektronen-Übergänge auf die Eigenschaften von Solarzellen ist der zeitliche Verlauf der Übergänge sehr wichtig.
  • Als Daumenregel können wir uns merken, dass Übergänge innerhalb eines Bandes (Übergänge mit geringen Energieabständen) viel schneller (das heißt mit geringeren Zeitabständen zwischen zwei Übergängen) ablaufen, als Übergänge über die Energielücke hinweg (z.B. 10^(-12 s) << 10^(-3 s) ).
  • Innerhalb eines voll besetzten Bandes kann sich ein Elektron nicht bewegen, da es im Band kein freies Sprungziel gibt.
  • Dies kann mit Autos auf einem Autozug veranschaulicht (Abb. 6.1) werden. Wenn alle verfügbaren Plätze besetzt sind, kann sich kein Auto bewegen.


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Abb. 6.1: Voll besetze Ebene eines Autozug-Waggons.



Löcher


  • Jetzt stellen wir uns vor, dass am Anfang des Waggons ein Auto fehlt (wir haben es z.B. nach oben gehoben, Abb. 6.2). Alle anderen Plätze sind noch besetzt. Dann kann das Auto auf dem zweiten Platz um einen Platz nach links fahren. Danach kommt das nächste Auto ein Stück weiter..., bis am Ende des Waggons ein Platz frei ist .


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Abb. 6.2 Bewegung einer Lücke.


  • Jetzt kommt ein Trick: Anstatt die kollektive Bewegung aller Autos in der unteren Ebene zu beschreiben, können wir auch von der Lücke oder dem "Loch" sprechen, welches sich von links nach rechts bewegt: Wir können ein rotes Auto einzeichnen, dass als "Lochauto" bezeichnen (Abb. 6.3).
  • Auf der zweiten Ebene, in der es viele freie Plätze und nur ein Auto (allgemeiner: wenige Autos) gibt, könnten wir statt der Beschreibung der wenigen Autos auch zur Beschreibung der kollektiven Bewegung der "Lochautos" übergehen. Das würde uns die Arbeit aber nicht erleichtern, also lassen wir es.
  • Im Valenzband (in der unteren Ebene) beschreiben wir die Bewegung der Löcher, da es dort in der Regel weniger freie Plätze als Elektronen gibt.
  • Im Leitungsband (in der oberen Ebene) betrachten wir die Elektronenbewegungen, da es dort meistens nur wenige Elektronen gibt.
  • Da ein "Elektron" für uns nur ein Konzept zur Beschreibung des quantenmechanischen Verhaltens von Festkörpern ist, können wir das "Loch" auch als ein Teilchen auffasen.
  • Einem Loch kann man ähnlich wie einer Elektronenwelle eine Energie, eine Gruppengeschwindigkeit, eine effektive Masse usw. zuordnen.


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Abb. 6.3 Bewegung eines Lochs.

  • Bei der chemischen Solarzelle hatten wir zwei unterschiedliche Teilchenarten. Den Zusammenhang zwischen ihren Teilchenanzahlen (bzw. Teilchenkonzentrationen) konnten wir mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes beschreiben.
  • Im Halbleiter werden die Rollen der beiden Teilchensorten von den Elektronen und den Löchern übernommen. Auch für sie gilt das Massenwirkungsgesetzt, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden.
  • Wenn ein Elektron von einem voll besetzten Band in eine leeres Band übergeht, kann es sich danach bewegen. Auch das Loch, dass im alten Band verbleibt, kann sich dann bewegen.
  • Es gibt deshalb (mindestens) zwei Mechanismen, wie ein Festkörper Strom leiten kann (Abb. 6.4).
  • Mit "Elektronenleitung" meinen wir im Folgenden die Bewegung von (wenigen) Elektronen im Leitungsband.
  • Mit "Löcherleitung" meinen wir die kollektive Bewegung der Elektronen bzw. die Bewegung (weniger) Löcher im Valenzband.


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Abb. 6.4: Frei bewegliche Ladungsträger.

  • Alternativ kann man sich diese Leitungsmechanismen auch mit einem "chemischen Bild" des Festkörpers plausibel machen.
  • In einem Siliziumkristall ist jedes Siliziumatom mit Elektronen-Paar-Bindungen an vier Nachbarn gebunden. Dies lässt sich vereinfacht als zweidimensionales Gitternetz darstellen (Abb. 6.5).
  • Löst man ein Elektron aus einer Bindung, wird es frei beweglich. Anders ausgedrückt: Das Elektron geht vom Valenzband ins Leitungsband über. Dabei entsteht ein Loch im Valenzband.
  • Das Elektron wandert eine Weile durch den Kristall und lagert sich irgendwann wieder zwischen zwei Atomen an.
  • Neben diesem Leitungsmechanismus gibt es noch den zweiten: Ein Elektron springt aus einer Bindung in die benachbarte Lücke, dann ein Elektron daneben usw. Das Loch bewegt sich durch den Kristall.
  • Da die beiden Leitungsmechanismen etwas unterschiedlich sind, überrascht es z.B. nicht, dass die Beweglichkeiten von Elektronen und Löchern etwas verschieden sind.


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Abb. 6.5: Elektronen- und Löcherleitung in Silizium.


Banddiagramm


  • Es gibt eine "komprimierte" Darstellung für die Dispersionsrelation. Dazu projezieren wir die maximale Energie E_v des Valenzbands und das Minimum des Leitungsbands E_c auf die Energieachse (Abb. 6.6).
  • Alle Zweige der Dispersionsrelation oberhalb der Energielücke fassen wir zum Leitungsband zusammen. Alle Zweige unterhalb der Energielücke bilden das Valenzband.
  • Bis jetzt war das Leitungsband der erste Zweig der Dispersionsrelation oberhalb der Energielücke. Nun steht der Begriff für die Zusammenfassung aller Zweige oberhalb der Energielücke, oder anders ausgedrückt: für den Energiebereich oberhalb der Energielücke. Analoges gilt fürs Valenzband.
  • Der Begriff der Valenz stammt vom lateinischen Verb „valere“ (wert sein). Die Valenzelektronen sind die äußersten Eletronen eines Atoms und bestimmen die Wertigkeit im Periodensystem. Bei einer Temperatur von 0 K sind die Zustände im Valenzband eines Festkörpers die energetisch höchsten, noch besetzten Plätze. Bei höheren Temperaturen bestimmt die Fermi-Dirac-Verteilung die Besetzung (siehe nächstes Kapitel.)
  • Ein voll besetztes Valenzband kann keinen Strom leiten. Erst wenn ein Elektron ins höher gelegene Band angeregt wird, wird das Material leitend. Daher der Begriff "Leitungsband".
  • Durch die Projektion geht die Information über die Wellenvektoren verloren. Im neuen Diagramm kann man z.B. nicht mehr erkennen, ob es sich um einen direkten oder indirekten Halbleiter handelt.
  • Dafür haben wir nun die horizontale Achse frei zur Verfügung. Wir tragen horizontal die Ortskoordinate x auf und nennen das Bild, das wir erhalten, Banddiagramm.


Banddiagramm0.png

Abb. 6.6: Vereinfachte Dispersionsrelation.

  • Für ein jedes gedachtes kleine Volumen dV in einem Festkörper gibt es eine Bandstruktur. An einer anderen Stelle im Festkörper kann die Bandstruktur anders aussehen.
  • Wie sich diese Bandstruktur bei einer eindimensionalen Betrachtung mit der Ortskoordinate x verändert, stellen wir (in komprimierter Form) im Banddiagramm dar.
  • Es könnte z.B. sein, dass unsere Solarzelle aus zwei verschiedenen Arten von Halbleitern mit verschieden großen Energielücken besteht.
  • Die "Bandkanten", die Begrenzungen der Energielücke, können in Abhängigkeit von x auch schräg oder gekrümmt verlaufen. Mehr dazu später.