Hauptgleichungen


x Überblick
x Gaußsches Gesetz und Faradaysches Gesetz
x Poissongleichung
x Kontinuitätsgleichungen
x Annahmen & Näherungen
x Minoritäten-Transport
x Lösungen für den Minoritäten-Transport
x Ambipolarer Transport
x Kleinsignal-Analyse



Überblick


  • Um Bauelemente aus Halbleitern zu beschreiben, sind vor allem drei (ziemlich allgemein gültige) Differentialgleichungen wichtig:



  • Die ersten beiden Gleichungen bezeichnet man als Kontinuitätsgleichungen. Sie können aus der Boltzmannschen Transportgleichung abgeleitet werden [PV1.6].
  • Man kann sie sich auch als "Murmel-Zählgleichungen" vorstellen. Im Prinzip werden mikroskopische Teilchen abgezählt und aufgepasst, dass nichts verloren geht. Die Bezeichnung "book-keeping-equations" drückt sie Sache auch ganz gut aus.
  • Die dritte Differentialgleichung wird als Poissongleichung bezeichnet. Sie kann aus den Maxwellgleichungen abgeleitet werden und verknüpft das elektrische Potential φ mit der Ladungsverteilung im Halbleiter.
  • Um sie anwenden zu können, braucht man kontinuierliche elektrische Potentiale (die zweifach abgeleitet werden können). Das funktioniert gut, wenn es um makroskopische Verhältnisse geht. Bei kleinen Strukturen, bei denen die Ladungen einzelner Ladungsträger wichtig werden, muss man mit der Gleichung etwas vorsichtig sein.

  • Die Absorption von Photonen wird mit Hilfe der Raten G_n und G_p beschrieben. Wenn es möglich sein soll, dass Photonen in der Solarzelle "recycelt" werden (vom Halbleiter emittierte Photonen werden wieder absorbiert), ist noch eine zusätzliche Kontinuitätsgleichung für die Photonen nötig. Wir gehen aber davon aus, dass Photonen nur einmal absorpiert werden / emittierte Photonen die Solarzelle verlassen.
  • Wenn die zeitabhängige Ansammlung von Ladungen in Störstellen berücksichtigt werden soll, ist auch noch eine zusätzliche Kontinuitätsgleichung für die Störstellen nötig [PV2.2]. Sonst wird der dynamische Einfluss der Störstellen auf die Poissongleichung nicht erfasst. Wir gehen aber davon aus, dass der Einfluss von Störstellen auf die Poissongleichung näherungsweise durch zeitlich konstante Störstellen-Ladungsdichten beschrieben werden kann.

  • Die drei Differenzialgleichungen werden als "nichtlinear" bezeichnet, weil z.B. die Rekombinationsrate R_n eine nichlineare Funktion von n ist.
  • Die Differenzialgleichungen sind miteinander "gekoppelt" (das heißt, sie sind voneinander abhängig), da z.B. R_n nicht nur eine Funktion von n ist, sondern auch von der Konzentration p. Und diese wird durch die zweite Differentialgleichung beschrieben. Umgekehrt ist R_p auch eine Funktion von p und n, usw.

  • Wir suchen Funktionen n(x, y, z, t), p(x, y, z, t), undφ(x, y, z, t), die dieses System aus nichtlinearen, gekoppelten Differentialgleichungen lösen können.
  • Dazu müssen wir allerdings erst wissen, wie die j, G und R von n, p, φ und weiteren Material- oder Umgebungsparametern abhängen.
  • Sind alle Abhängigkeiten bekannt, haben wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten vor uns. Prinzipiell ist das System also dann lösbar.

  • Über die Stromdichten j wurde für kristalline Materialien schon einiges erzählt.

  • Wir wissen auch schon, dass wir Netto-Rekombinationsraten formal als Quotienten aus Überschusskonzentrationen und Ladungsträger-Lebensdauern aufschreiben können. Für die Raten R steht dann noch offen, wie diese Lebensdauern von n, p, φ usw. abhängen.
  • Die Raten werden sich aus den drei Teilprozessen "Auger-Rekombination", "SRH-Rekombination" und "strahlender Rekombination" zusammen setzen. Für die Lebensdauern τ(n, p, φ,...) gilt entsprechend:



  • Obwohl die Formeln für die einzelnen Lebensdauern später noch behandelt werden, wird es praktischer sein, gemessene Werte für τ zu verwenden.
  • Um z.B.die Lebensdauer τ_SRH (die oft "dominant" ist) wirklich berechnen zu können, würden wir die ortsabhängige Dichte der Störstellen, ihre Energieniveaus usw. benötigen.
  • Mit der Messung von Ladungsträger-Lebensdauern τ werden wir uns deshalb noch ausführlich beschäftigen.

  • Für die Generationsraten G_n und G_p benötigen wir die ortsabhängige Photo-Generationsrate. Andere Generationsraten, wie z.B. durch radioaktive Strahlung brauchen wir nicht zu berücksichtigen. Die thermische Generation von freien Ladungsträgern wird indirekt über die Ausdrücke für die Rekombinationsraten R_n und R_p mit erfasst.
  • Wenn Elektronen und Löcher immer paarweise erzeugt werden (das heißt durch Band-Band-Übergänge), gilt G_n = G_p = G.
  • Wir werden für die Berechnung von G einige weitere physikalische Größen benötigen, wie z.B. den Absorptionskoeffizient, die Reflektionsgrade von Vorder- und Rückseite der Solarzelle und die spektrale Photonenflussdichte des einfallenden Lichts.

  • Für die Dichte n_Rest in der Poissongleichung benötigen wir unter anderem das ortsabhängige Dotierprofil der Solarzelle, also die Dichten N_A und N_D der Dotieratome.

  • Was wir auch noch brauchen werden, sind Randbedingungen für n, p und φ an den Oberflächen des Bauelements, bzw. an Grenzflächen zwischen verschiedenen Bereichen der Solarzelle.
  • Die Beschreibung solcher Randbedingungen (z.B. mit Hilfe von Oberflächen-Rekombinationsgeschwindigkeiten) kommt im nächsten Kapitel.

  • Werden tatsächlich zeitabhängige Lösungen gesucht (z.B. nach der Anregung einer Probe mit einem Blitzlicht), sind auch Informationen über die zeitlichen Abhängigkeiten der optischen und elektronischen Größen gefragt.

  • Wenn die selbstkonsistenten Lösungen für n, p und φ erst einmal gefunden sind, können danach mit Hilfe der schon bekannten Abhängigkeiten alle anderen interessierenden Größen berechnet werden.

  • Zum Suchen der Lösungen könnten wir numerische Verfahren verwenden. Es gibt dafür frei verfügbare Programme, wie z.B. PC1D (für eindimensionale Lösungen, wie der Name schon sagt), oder auch kommerzielle Software wie z.B. Comsol.

  • Für ein gutes Verständnis der Solarzelle wären analytische Lösungen etwas ganz was Tolles...damit könnten wir leichter voraussagen, wie sich Änderungen auswirken und wie wir Solarzellen noch verbessern können.
  • Leider ist aber das komplizierte mathematische Gebilde, das wir vor uns haben, nicht analytisch lösbar.
  • Ein Optimist würde sagen, dass dieses Gebilde eine reichhaltige Quelle für eine Vielzahl von physikalischen Phänomenen ist.
  • Die Bedeutung und das Auftreten der einzelnen Phänomene sollte mit Hilfe von Materialparamtern, Beleuchtungsverhältnissen, der Bauteilstruktur usw. ziemlich gut nach unseren Wünschen ausrichtbar sein.
  • Mit Hilfe einiger Näherungen ist es möglich, die drei Differentialgleichungen zu linearisieren und zu entkoppeln.
  • Dann können tatsächlich analytische Lösungen gefunden werden.


  • Bevor wir die Gleichungen anwenden, werden in diesem und dem folgenden Kapitel die nötigen Grundlagen dazu erarbeitet.
  • Um die Poissongleichung formal abzuleiten, betrachten wir zunächst zwei der Maxwellgleichungen. (Einen schönen Überblick über die Maxwellgleichungen bietet z.B. [Hecht].) Die Ableitung kann überflogen werden. Sie soll nur zeigen, woher die Poissongleichung kommt und welche Annahmen für ihre Anwendung erfüllt sein müssen. Wem das zu viel ist, kann die Poissongleichung auch einfach so akzeptieren, wie sie ist.



Gaußsches Gesetz und Faradaysches Gesetz

  • Das Gaußsche Gesetz kann man als Anwendung des Gaußschen Integralsatzes in der Elektrostatik auffassen.
  • Wir können es uns wie folgt plausibel machen:
  • Man betrachte ein abgeschlossenes Volumen (mit einer Oberfläche A), das eine Ladung Q enthält (Abb. 11.1).
  • Durch die Oberfläche verlaufen elektrische Feldlinien, deren Dichte ein Maß für die Stärke des elektsichen Feldes um die Ladung herum sind.
  • Die Anzahl der Feldlinien durch die Oberfläche ist proportional zur Ladung, die im Volumen enthalten ist.
  • Durch die Oberfläche könnten auch noch Feldlinien verlaufen, die nicht von der eingeschlossenen Ladung stammen, sondern von Ladungen außerhalb des betrachteten Volumens. Allerdings werden diese Feldlinien die Oberfläche dann mindestens zweimal durchqueren. Wir nehmen an, dass der Anfang und das Ende so einer gedachten Feldlinie immer bei einer Ladung sein müssen.


gauss_gesetz.png
Abb. 11.1: Veranschaulichung des Gaußschen Gesetzes.


  • Zieht man also eine Bilanz über die Feldlinien....die Netto-Dichte der Feldlinien über die Oberfläche integriert...ist ein Maß für die eingeschlossene Ladung Q. Statt von der "Dichte der Feldlinien" können wir auch vom elektrischen Feld E sprechen.
  • Die Proportionalitätskonstante zwischen (Flächen-Integral über das elektrische Feld) = elektrischer Fluss Φ und der Ladung wird als Dielektrizitätskonstante ε bezeichnet.
  • Das Gaußsche Gesetz lautet in Integralform:



  • Die Essenz des Gaußschen Gesetzes ist für uns: Die Quellen und Senken für elektrische Felder sind elektrische Ladungen.
  • Die Ladung Q ergibt sich auch als Integral der Ladungsdichte ρ über das (durch die Oberfläche A eingeschlossene) Volumen V:



  • Die Ladungsdichte bitte nicht mit dem spezifischen Widerstand verwechseln, der meistens das gleiche Symbol besitzt.
  • Der erwähnte Gaußsche Integralsatz aus der Mathematik verknüpft ein Oberflächenintegral mit einem Volumenintegral. Für ein Vektorfeld F und eine geschlossene Oberfläche S gilt:




  • Ein Maß für die "Quellstärke" eines Vektorfeldes ist seine Divergenz div F = nabla F. Ist die Divergenz positiv, gibt es eine Quelle für das Vektorfeld, ist sie dagegen negativ, gibt es eine Senke. Falls die Divergenz immer gleich null sein sollte, ist das Vektorfeld frei von Quellen und Senken.
  • Die Divergenz kann man auch als Fluss durch die Oberfläche eines beliebig kleinen Volumens dV auffassen.
  • Für das Gaußsche Gesetz gibt es folgende alternative Formulierung:



  • Etwas lax ausgedrückt: die Ladungsdichte ergibt sich als Skalarprodukt aus Nablaoperator und elektrischem Feld.
  • Oder nochmal anders: die Ladungsdichte ρ ist ein Maß für das Änderungsverhalten des elektrischen Felds.
  • Bei Wikipedia wird diese alternative Darstellung noch etwas genauer beschrieben und z.B. auch das Coulombsche Gesetz mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes abgeleitet.
  • Das Gaußsche Gesetz ist als Teil der Maxwellgleichungen für uns nicht nur wegen der Poissongleichung wichtig, sondern auch für die Randbedingungen im nächsten Kapitel.

  • Wenn die Gleichung nicht im Vakuum, sondern in einem Material gelten soll, kommt an Stelle des elektrischen Feldvektors, der sogenannte elektrische Verschiebungsvektor D ins Spiel.
  • Wir gehen von folgendem Zusammenhang aus: D = ε_0 ε_r E + P = ε_0 ε_r E + 0.
  • Wir nehmen an, dass ε = ε_0 ε_r eine skalare Größe ist und dass es keine Polarisationseffekte gibt: P = 0.
  • Anders ausgedrückt: Wir nehmen an, dass D parallel zu E ist und die Längen der Vektoren direkt proportional zueinander sind.
  • Deshalb können wir mit unseren Gleichungen keine piezoelektrischen oder ferroelektrischen Effekte und auch keine nichlineare Optik beschreiben.


Tabelle X.1: Permittivität von einigen Materialien.

  • Eine weitere Maxwellgleichung ist das Faradaysche Gesetz:



  • Es verknüpft die Änderung von Magnetfeldern B mit der Rotation ("Verwirbelung") des elektrischen Feldes.
  • Wir gehen davon aus, dass unsere Solarzellen nichts mit Magnetfeldern zu tun haben, sich da also auch zeitlich nichts ändern kann.
  • Deshalb gilt für uns:





Poissongleichung

  • Mit ein wenig Mathematik kann man folgendes beweisen: Wenn die Rotation eines Vektorfeldes ein Nullvektor ist, kann das Vektorfeld als Gradient ("Ableitung") einer skalaren Funktion dargestellt werden. So eine skalare Funktion bezeichnet man dann als Potential:



  • Da wir keine zeitlichen Änderungen von Magnetfeldern haben, dürfen wir das elektrische Feld also als Gradient eines elektrischen Potentials auffassen. (Das Minuszeichen richtet sich nach der üblichen Vorzeichenkonvention.)
  • Setzen wir dies ins Gaußsche Gesetz ein, erhalten wir die Poissongleichung:



  • (Eine gut zu lesende Herleitung der Poissongleichung, die auch den Einfluss eines nicht-skalaren ε enthält, bietet z.B. [S. Silberherr, Analysis and Simulation of Semiconductor Devices].

  • Die Ladungsdichte ρ in einem Halbleiter setzt sich zusammen aus der Ladung q p der freien Löcher, der Ladung -q n der freien Elektronen und einer restlichen Ladung q n_Rest:



  • Dabei soll n_Rest eine Dichte sein, die weitere Ursachen für Ladungen beschreibt, z.B. geladene Störstellen an Korngrenzen oder ionisierte Dotieratome.
  • Ein Beispiel für die Anwenung der Poissongleichung...angenommen, das elektrische Potential sei in Abhängigkeit einer Ortskoordinate x gegeben als:



  • Dann ergibt sich mit Hilfe der Poissongleichung eine Ladungsdichte von:



  • Beide Verläufe werden in Abb. 11.2 dargestellt.



Abb. 11.2: Anwendung der Poissongleichung.

  • Umgekehrt könnte auch aus einer bekannten Ladungsverteilung der Verlauf des elektrischen Potentials berechnet werden. Für die Bestimmung der Absolutwerte / der Integrationskonstanten sind dann allerdings noch Randbedingungen nötig.





Kontinuitätsgleichungen

  • So, nun wollen wir "Murmeln zählen". Die Kontinuitätsgleichungen kann man ableiten, indem man ein kleines Volumen dV = dx dy dz betrachtet (Abb. 11.3) und sich fragt, wie sich die Teilchenzahldichte in diesem Volumen zeitlich ändern kann.



Abb. 11.3: Änderung der Teilchenzahldichte.

  • Die Teilchenzahldichte kann sich z.B. durch elektrische Ströme ändern.
  • Wir betrachten für den Anfang nur Ströme, die in x-Richtung fließen.
  • Statt Murmeln nehmen wir gleich Löcher. Einige Ladungsträger werden an der Stelle x senkrecht durch die Querschnittsfläche mit dem Betrag dA wandern.
  • Die Anzahl dN_1 positiver Teilchen, die wegen einer elektrischen Stromdichte mit dem Betrag j_p(x) in einem Zeitintervall dt ins Volumen wandert ist:



  • Andere Ladungsträger werden innerhalb des gleichen Zeitraums an der Stelle x + dx aus dem Volumen herauswandern:



  • Einige Löcher können in der Zeit dt im Volumen durch das Aufbrechen von kovalenten Bindungen mit der Netto-Generationsrate G_p generiert werden:



  • Und einige werden durch Rekombinationsprozesse mit der Netto-Rate R_p wieder rekombinieren:



  • Die zeitliche Änderung der Teilchenzahl im Volumen dV ist dann insgesamt:



  • Teilen wir die Gleichung durchs Volumen und ziehen ein Minuszeichen vor, erhalten wir für die zeitliche Änderung der Teilchenzahldichte p:



  • Die Funktionsdifferenz im Zähler kann man bei genügend kleiner Schrittweite durch das Produkt aus Ableitung an der Stelle x und Länge dx ersetzen. Das dx "kürzt sich dann raus". Anders ausgedrückt: der Differenzenquotient wird zum Differentialquotient:



  • Wunderbar! Damit haben wir die eindimensionale Kontinuitätsgleichung für Löcher abgeleitet.
  • Für Elektronen lautet sie (Die technische Stromrichtung und die Bewegungsrichtung der Elektronen sind entgegengesetzt):



  • Werden auch noch Ströme in y- und z-Richtung berücksichtigt, erhalten wir:



  • Hier sind unsere drei Hauptgleichungen noch einmal aufgeführt:



  • Eine Herleitung der Kontinuitätsgleichungen ergibt sich auch aus den Maxwellgleichungen und einigen Definitionen:
  • Eine der Maxwellgleichungen lautet:



  • Anwendung des Nablaoperators (Bildung der Divergenz) und Einsetzen einer weiteren Maxwellgleichung ergibt eine "Gesamt-Kontinuitätsgleichung":



  • Wir drücken die Raumladungsdichte ρ wieder mit Hilfe von Teilchenkonzentrationen aus und führen folgende Substitutionen ein:



  • Damit folgt:



  • Jede Seite dieser Gleichung hat die Einheit 1/(cm^3 s) und kann formal als eine Netto-Erzeugungsrate X von (negativen bzw. positiven) Ladungen aufgefasst werden.
  • Anders ausgedrückt: Wir können die Gleichung als Ladungserhaltung in einem abgeschlossenem System lesen: X_n = G_n - R_n = G_p - R_p = X_p.
  • Wir teilen die Gleichung in zwei Gleichungen auf:



  • Wenn die Verteilung der restlichen Ladungen statisch ist, tauchen keine zusätzlichen Terme in den aufgeteilten Gleichungen auf und sie entsprechen den oben abgeleiteten Kontinuitätsgleichungen:



  • Die Aufteilung der Gleichung liefert keine neuen Informationen und war im Prinzip nur "Spielerei" mit den Formeln. Nimmt man zusätzliches Wissen über Halbleiter hinzu, ermöglicht die Aufteilung aber neue Interpretationen der "Gesamt-Kontinuitäts-Gleichung".
  • Die Botschaft der alternativen Herleitung sollte vor allem sein: "Wenn es zeitliche Änderungen der Restladung (n_Rest q) gibt, sind die Kontinuitätsgleichungen in der üblichen Form nicht gültig."
  • Alterntiv kann man auch sagen, dass dann die Ausdrücke für die Generations- oder Rekombinationsraten angepasst werden müssen.





Annahmen & Näherungen


  • Wenn die Hauptgleichungen mit mehr Inhalt gefüllt werden, kann es ziemlich schnell ziemlich unübersichtlich werden: Es gibt eine Vielzahl von Näherungen und Sonderfällen.
  • Um den Überblick zu behalten, sollten wir deshalb halbwegs strukturiert vorgehen.
  • Als erstes beschäftigen wir uns mit den Ausdrücken für die Stromdichten:



  • Diese können wir für kristalline Halbleiter auch in der Form der Drift-Diffusionsgleichungen aufschreiben:



  • Falls z.B. Gradienten der Elektronenaffinität vorhanden sind, müssen die elektrischen Felder E durch die effektive elektrischen Felder E_n bzw. E_p ersetzt werden.
  • Wir gehen ab jetzt davon aus, dass keine effektiven elektrischen Felder vorhanden sind und folgende Zusammenhänge gelten:



  • Damit können wir unser Ziel, die Stromdichten j als Funktion von n, p und φ zu schreiben, schon fast erreichen:



  • Es bleibt noch die Frage offen, wie die "Konstanten" D und µ von diesen Größen abhängen.
  • In erster Näherung können wir annehmen, dass sie konstant sind (zumindest innnerhalb bestimmter Bereiche, in die wir die Solarzelle später noch einteilen werden).
  • Die Bildung des Ortsgradienten ergibt dann:



  • Das Ergebnis können wir in die Hauptgleichungen einsetzen:



  • Die Wahl von n, p und φ als Lösungsvariablen war willkürlich. Wir hätten z.B. statt φ auch E_vac, E_i oder ein φ* = - E_i / q wählen können und statt den Konzentrationen die Quasi-Ferminiveaus oder sogenannte Quasi-Fermi-Potentiale:



  • Dementsprechend gibt es in der Literatur unterschiedliche Zugänge zur Lösung der Hauptgleichungen.
  • Für analytische Berechnungen werden eher Konzentrationen, für numerische Berechnungen eher Potentiale als Lösungsvariablen verwendet.
  • Die Konzentrationen können bei Bedarf immer als Summen aus Gleichgewichtskonzentrationen (ohne Energiezufuhr von außen) und Überschusskonzentrationen geschrieben werden:



  • Eine manchmal nützliche Darstellung der Überschusskonzentrationen lautet:



  • Die Überschusskonzentrationen teilen wir in einigen Fällen zusätzlich auf. Dabei charakterisieren die Größen mit Index 0 einen Arbeitspunkt, von dem aus (meist kleine) Änderungen der Überschusskonzentrationen betrachtet werden:



  • (In der Praxis werden Δn_0 und Δp_0 mit Hilfe einer Hintergrundbeleuchtung ("Bias-Licht") und / oder einer angelegten Spannung eingestellt.)

  • Ähnlich können auch die Netto-Generationsraten oder das elektrische Potential in zwei Größen aufgeteilt werden:



  • So eine Aufteilung macht z.B. Sinn, wenn der erste Anteil zeitunabhängig ist und der zweite Anteil die Zeitabhängigkeit der Größe beschreibt.
  • Mit diesem Trick kann eine Differentialgleichung eventuell in zwei neue Differentialgleichungen aufgeteilt werden, die leichter zu händeln sind.
  • Wenn die abgespaltenen Größen viel kleiner als die Ausgangsgrößen sind, spricht man von einer Kleinsignal-Analyse ("small signal analysis").
  • Für eine Kleinsignal-Analyse, welche die Abweichungen von einem festgelegten Arbeitspunkt beschreibt, gelten spezielle Näherungen.
  • Anstatt absoluter Materialparameter sind dann differentielle Materialparameter (z.B. differentielle Lebensdauer statt absolute Lebensdauer) von Bedeutung.
  • Dies werden wir später noch näher untersuchen.

  • Es gibt noch andere Möglichkeiten, eine Aufgabenstellung in Teilprobleme zu zerlegen.
  • Wird die Solarzelle gedanklich in verschiedene Bereiche (A, B, ...) aufgeteilt (Abb. 11.4), kann es durchaus Sinn machen, die Hauptgleichungen für die einzelnen örtlichen Bereiche unterschiedlich anzunähern.


AufteilungBereiche.png
Abb. 11.4: Aufteilung in mehrere Bereiche.

  • Einige Näherungen werden nur für dotierte Halbleiter gelten, in denen sich die Gleichgewichtskonzentrationen n_0 und p_0 deutlich unterscheiden.
  • Um diese Näherungen anwenden zu können, geht man dann entweder von einem n-Typ oder einem p-Typ Halbleiter aus.
  • Wir werden die Konzentrationen mit einem entprechenden Index versehen, um an diese Voraussetzung zu erinnern.
  • Beispielsweise ist n_p die Konzentration der Elektronen in einem p-Typ Halbleiter, also eine Minoritäten-Konzentration. Dagegen ist p_p eine Majoritäten-Konzentration.
  • (Falls solche indizierten Konzentrationen bei einem intrinsichem Halbleiter auftreten sollten, muss noch einmal überlegt werden, ob die Näherungen Sinn machen.)
  • Noch einmal anders ausgedrückt: Es könnte Näherungen geben, die sich nur auf Minoritäten beziehen und welche, die nur für Majoritäten gelten.

  • Wir haben bei den folgenden Annahmen und Näherungen also u.a. Aufteilungen der Konzentrationen, Aufteilungen in verschiedene örtliche Bereiche und die Aufteilung in n-Typ / p-Typ bzw. Minoritäten / Majoritäten zu berücksichtigen.

  • In dem Zusammenhang gibt es eine interessante Lösungsstrategie:
  • Die Gesamtstromdichte j in einem dotieren Bereich ergibt sich als Summe aus Minoritäten-Stromdichte und Majoritäten-Stromdichte.
  • Angenommen, wir kennen in den Bereichen A und C schon die Minoritäten-Stromdichten in Abhängigkeit vom Ort...
  • Zusätzlich sei Bereich A n-Typ und Bereich C p-Typ. (Wir kennen also in Bereich A den Anteil an der Stromdichte durchs Valenzband und im Bereich C den Anteil an der Stromdichte durchs Leitungsband.)
  • Falls sich die Stromdichten über den Bereich B hinweg nicht ändern, ergibt sich eine sehr günstige Situation. Dann wissen wir nämlich an den Stellen x_A und x_B nicht nur die Minoritäten-Stromdichten, sondern auch die Majoritäten-Stromdichten (die wir vom gegenüberliegenden Bereich "herübergezogen" haben; Minoritäten werden dann ja zu Majoritäten und umgekehrt).
  • Das bedeutet an den Stellen x_A und x_B kann die Gesamtstromdichte berechnet werden. Und das, obwohl eigentlich nur mit den Minoritäten-Stromdichten gerechnet wurde. Toll, oder?
  • Alternativ könnten wir auch nur mit den Majoritäten-Stromdichten rechnen. Wichtig an der Geschichte ist jedenfalls, dass sich über den Bereich B hinweg nichts (oder nur kaum) etwas ändert.
  • Diese Strategie scheint vielleicht etwas weit hergeholt...wir werden sie später aber tatsächlich noch anwenden.
  • An dieser Stelle sollte sie plausibel machen, dass es manchmal genügt, nur Minoritäten oder Majoritäten zu betrachten.

  • Wenn es möglich wäre, die Hauptgleichungen (und die Randbedingungen) zu linearisieren, würde das Superpositionsprinzip gelten.
  • Das wäre toll! Dann könnten wir z.B. zwei gefundene Lösungen L_1, L_2 (die für Spezialfälle gelten) kombinieren, um eine allgemeinere dritte Lösung L = a L_1 + b L_2 zu erhalten. (Die Koeffizienten a, b könnten dann wiederum für weitere, neue Spezialfälle bestimmt werden.)
  • Von den analytischen Lösungen ausgehend müssten dann evtl. nachträgich die Effekte diskutiert werden, die sich durch die Verletzungen des Superpositionsprinzips (durch die eigentliche Nicht-Linearität der Differentialgleichungen und Randbedingungen) ergeben.

  • Hier schreiben wir die Hauptgleichungen noch einmal auf:



  • Diese Gleichungen sollen der gemeinsame Ausgangspunkt für alle weiteren Annahmen und Näherungen sein.
  • Falls wir doch noch von diesen Gleichungen abweichen (der Halbleiter z.B. degeneriert ist), wird extra darauf hingewiesen.
  • Überlegen wir nun, was wir so alles (weg)nähern könnten (Tabelle 11.1).


Tabelle 11.1: Näherungen für die Hauptgleichungen.






  • Ohh jeehh, und da sollen wir noch durchblicken ?? :-) Ja, genau. Mit Hilfe von Beispielen wird die Sache schon noch klarer werden...
  • Man könnte sich sogar noch weitere Annahmen ausdenken. Mit den in der Tabelle aufgeführten Möglichkeiten sollten aber schon fast alle Näherungen, die in der Literatur für die Hauptgleichungen vorkommen, erklärt werden können.


1D-Minoritäten-Transport in quasi-neutralen, homogen dotierten Bereichen bei Niedriginjektion


  • Nun wollen wir die Hauptgleichungen durch geschickte Annahmen so weit nähern, dass sie für einen betrachteten Bereich analytisch lösbar sind.
  • Als Ergebnis werden wir die "Minoritäten-Diffusions-Gleichungen" erhalten, die in der Literatur sehr häufig vorkommen.
  • Dafür gehen wir von einem homogen dotierten Bereich der Solarzelle aus. Die Gleichgewichtskonzentrationen sollen unabhänig von Ort und Zeit sein (Näherungen #1 + #3):



  • Wenn das Produkt aus Konzentration und elektrischem Feld klein ist, kann der Driftanteil der Stromdichte gegenüber dem Diffusionsanteil vernachlässigt werden (#6). Das kann man gut an den Gleichungen für die Stromdichten sehen:



  • Für Minoritäten (geringe Konzentration) und flachem Verlauf der Vakuumenergie (geringes elektrisches Feld) ist das der Fall.
  • Für Majoritäten wird das Produkt dagegen nicht klein und der Driftanteil kann nicht vernachlässigt werden.
  • Die Näherungen #6 sind daher nicht so einschränkend wie die Näherungen #5, da sie noch einen Driftanteil der Stromdichte für die Majoritäten zulassen. Bei #5 würde dieser Anteil auch vernachlässigt werden.
  • Man kann sich auch vorstellen, dass es eigentlich ein elektrisches Feld gibt, dies aber durch die vielen Majoritäten abgeschirmt wird, so dass die Minoritäten nicht mehr zu einer Driftbewegung angetrieben werden.
  • Wenn das elektrische Feld wirklich nahezu null ist, kann es es im betrachteten Bereich auch keine starke Quelle oder Senke für das elektrische Feld geben. Die Ladungsdichte ist dann nahezu null. Der Bereich ist quasi-neutral.



  • Wie "flach" muss E_vac für die Näherung #6 verlaufen, bzw. wie niedrig muss die Minoritätenkonzentration sein? Können wir einem Banddiagramm ansehen, ob wir die Näherung verwenden dürfen?
  • Für einen p-Typ-Halbleiter (in dem die effektive Zustandsdichte keine Funktion des Orts sei) soll gelten:



  • Für einen n-Typ-Halbleiter soll für die Näherung #6 analog gelten:



  • E_vac soll also viel flacher verlaufen, als der Abstand zwischen Quasi-Ferminiveau und Bandkante mit dem Ort zunimmt oder abnimmt. (Wenn wir irgendwann Lösungen für Hauptgleichungen gefunden haben, können wir ja mal nachprüfen, ob diese Bedingung wirklich erfüllt ist.)
  • Den Nabla-Operator können wir für eine eindimensionale Beschreibung durch die Ableitung nach der Ortskoordinate x ersetzen (#21).
  • Für die Netto-Generationsraten wenden wir Näherung #12 an.
  • Um die Gleichungen zu entkoppeln und zu linearisieren modellieren wir die Netto-Rekombinationsraten mit Hilfe linearer Funktionen der Minoritäten-Übschussdichten (#18):



  • Wie können wir diese praktische Näherung rechtfertigen?
  • Als "Plausibilitäts-Kurzversion" stelle man sich zunächst folgendes Bild vor:
  • Eine kleine Herde von Tieren versucht im Amazonas einen breiten Fluß voller Piranhas zu überqueren.
  • Die Minoritäten-Lebensdauer beschreibt dann, wie lange die Minoritäten (die Herdentiere) überleben können, bevor sie von den gefräßigen Majoritäten (den Piranhas) vernichtet werden.
  • Die Anzahl der Piranhas ist dabei so groß, dass es für das Überleben der Herdentiere (bzw. für die Vernichtungsrate) nicht weiter wichtig ist, wie alt ein Piranha wird.
  • Die Lebensdauer der Herdentiere und ihre Anzahl bestimmen, wie weit die Herde in den Fluß vordringen kann und ob vielleicht sogar einige Tiere den Fluß überqueren können.

  • Die Näherungen #18 sind nötig, um die Differentialgleichungen zu entkoppeln.
  • Die Rekombinationsraten (bzw. die Lebensdauern) sind normalerweise Funktionen von n, p, usw. Durch die Näherung, dass R nur noch von n (bzw. nur von p) abhängt, können die Minoritäten-Kontinuitätsgleichungen unabhängig von den anderen Gleichungen gelöst werden.
  • R_n stellen wir nicht als Funktion von n, sondern direkt als Funktion von Δn = n - n_0 dar, da dies im Zusammenhang mit den Näherungen #1 und #3 zweckmäßiger ist und weil der schöne Zusammenhang R_n(Δn = 0) = 0 gilt. Analog schreiben wir R_p als Funktion von Δp.
  • Die Näherungen #18 sind auch nötig, um die Differentialgleichungen zu linearisieren. Wenn wir die Netto-Rekombinationsrate z.B. durch eine quadratische Funktion R_n = a_1 Δn + a_2 Δn^2 beschreiben würden, würde das Superpositionsprinzip nicht gelten.
  • Abweichungen von diesen Näherungen können später anhand der tatsächlichen, injektionsabhängigen Lebensdauern τ(Δn, Δp, n_0, p_0, ...) diskutiert werden.

  • Die Näherungen #18 formal zu rechtfertigen ist gar nicht so einfach...
  • Es gibt Veröffentlichungen, die sie als falsch verurteilen: ["Generation–Recombination Processes in Semiconductors", I. N. Volovichev and Yu. G. Gurevich, Semiconductors 35, 306].
  • Deshalb sind sie mit Vorsicht zu genießen.

  • Wir versuchen es mal so:
  • Als erstes gehen wir davon aus, dass die Rekombination über Störstellen der dominierente Rekombinationsmechanismus ist:



  • Für die SRH-Rekombinationsrate wurde folgender Ausdruck abgeleitet:



  • Wir nehmen an, dass diese "steady-state" SRH-Rekombinationsrate näherungsweise auch für zeitabhängige Vorgänge im Halbleiter gilt und der Ausdruck für beide Kontinuitätsgleichungen verwendet werden darf: R_n = R_p = R_SRH.
  • Wenn wir nun z.B. von einem n-Typ-Halbleiter ausgehen....wie können wir den SRH-Ausdruck näherungsweise in eine Form (Δp / Konstante) überführen? Wenn wir das schaffen, haben wir die Näherung #18 plausibel gemacht.
  • Dazu brauchen wir zusätzliche Annahmen über die Injektion und über die Störstellen.
  • Für einen n-Typ-Halbleiter (übliche Dotierkonzentration, Raumtemperatur) in Niedriginjektion ("low level injektion (lli)", #7) dürfen wir schreiben:



  • Wenn die Energie E_t der Störstellen der intrinsischen Energie entspricht (tiefe Störstelle, etwa in Bandmitte), entsprechen n_1 und p_1 etwa n_i:



  • Wenn die Wirkungsquerschnitte der Störstellen für Elektronen und für Löcher die gleiche Größenaordung haben, sind auch die Lebensdauerparamter von der gleichen Größenordnung.
  • Dann ist für einen n-Typ Halbleiter das linke Produkt im Nenner viel größer als das rechte Produkt und wir dürfen schreiben:



  • Für ähnliche Annahmen bei der Betrachtung eines p-Typ-Halbleiters gilt:



  • Wenn wir also von nur einer Störstellensorte ausgehen, deren Energieniveau etwa in der Bandmitte liegt und deren Wirkungsquerschnitte symmetrisch sind, und einen dotierten Halbleiter in Niedriginjektion betrachten, können wir die Näherungen #18 tatsächlich rechtfertigen.
  • Die "Konstante", die den gewünschten linearen Zusammenhang zwischen Rekombinationsrate und Minoritäten-Übschussdichte beschreibt, entspricht näherungsweise dem Minoritäten-Lebensdauerparameter:



  • Die Näherung #18 funktioniert auch mit der Annahme #8 für die Injektion ("hli").
  • Wir gehen z.B. davon aus, dass der Halbleiterbereich sehr stark beleuchtet wird, so dass die Überschusskonzentration der Majoritäten größer als die Gleichgewichtskonzentration der Majoritäten ist.
  • Die Elektronen und Löcher werden paarweise erzeugt. Wir gehen zusätzlich davon aus, dass die großen Überschusskonzentrationen der Elektronen und Löcher im Halbleiter etwa gleich groß bleiben. Es soll z.B. keine Störstellen geben, die nur eine Ladungsträgersorte einfängt.
  • Oder die Konzentration dieser Störstellen soll zumindest klein im Vergleich zu den großen Überschussdichten sein.
  • Zusätzlich zur Hochinjektion #8 soll also näherungsweise die Annahme #11 erfüllt sein:



  • Für einen n-Typ-Halbleiter dürfen wir dann schreiben:



  • Also auch für Hochinjektion nimmt die SRH-Rekombinationsrate die Form (Δp / Konstante) an.
  • In diesem Fall entspricht die Lebensdauer, die in die Kontinuitätsgleichungen eingesetzt wird, allerdings nicht dem Minoritäten-Lebensdauerparamter, sondern der Summe aus beiden Lebensdauerparametern:



  • In Wirklichkeit wird es wahrscheinlich nicht nur eine Sorte von Störstellen geben und der Ausdruck für die Störstellen-Rekombinationsrate komplizierter aussehen.
  • Trotzdem werden wir für die analytischen Lösungen davon ausgehen, dass wir die Netto-Rekombinationsrate als eine lineare Funktion der Minoritäten-Überschussdichte darstellen können.
  • Die Lebensdauern τ_n und τ_p, die in diesem Zusammenhang auftreten, bezeichnen wir als Minoritätsladungsträgerlebensdauern, oder kurz als Minoritäten-Lebensdauern.
  • Sie beschreiben, "wie lange die Minoritäten in einem See von Majoritäten überleben".
  • Mit der expermientellen Bestimmung der Minoritäten-Lebensdauern werden wir uns später noch ausführlich auseinandersetzen.
  • Beim Betrieb einer Solarzelle mit "normalem" Sonnenlicht kann man davon ausgehen, dass die Solarzelle sich in Niedriginjektion befindet. Bei konzentriertem Sonnenlicht oder der Beleuchtung mit Laserlicht für bestimmte Messungen kann die Näherung der Hochinjektion sinnvoll sein.
  • So weit zum Ausdruck für die Rekombinationsraten.

  • Der letzte Stand der Hauptgleichungen war:



  • Wir nehmen an, dass die Netto-Generationsrate nur eine Funktion von Ort und Zeit ist: G = G(x, t). (Den Ausdruck G(x, t) füllen wir in einem späteren Kapitel noch mit mehr Inhalt.)
  • Deshalb können nun für die Gleichung der Minoritäten unabhängig von den anderen beiden Gleichungen Lösungen gesucht werden.
  • In der Literatur wird manchmal nur mit den Minoritäten gerechnet und die genäherten Hauptgleichungen werden in folgender verkürzter Form aufgeschrieben:





Einige Lösungen für den Minoritäten-Transport


  • Die "Minoritäten-Diffusionsgleichungen" können für einige Sonderfälle noch weiter vereinfacht werden.
  • In Tabelle 11.2 werden analytische Lösungen für den 1D-Minoritäten-Transport in homogen dotierten, quasi-neutralen p-Typ Halbleitern bei Niedriginjektion aufgeführt. (Wer Spaß dran hat kann die Lösungen ja mal in die Differentialgleichungen einsetzen und prüfen, ob sie wirklich richtig sind.)
  • Dabei sind A, B, α, β und Δn_(p, 0) Konstanten, die mit Hilfe weiterer Bedingungen für die jeweilige Situation später noch bestimmt werden müssen.
Tabelle 11.2: Analytische Lösungen für den Minoritäten-Transport.


  • Für die Bestimmung von Minoritäten-Lebensdauern kann die genäherte Minoritäten-Kontinuitätsgleichung umgestellt werden (hier für p-Typ-Halbleiter):



  • Wenn eine homogene Verteilung der Minoritäten-Überschusskonzentration vorliegt, geht dies über in:



  • Liegt zusätzlich auch noch ein statischer Zustand vor, kann die Minoritäten-Lebensdauer als Quotient aus Minoritäten-Überschusskonzentration und Generationsrate bestimmt werden (L3):



  • Für homogen dotierte, quasi-neutrale n-Typ Halbleiter unter Niedriginjektion (bzw. Hochinjektion) gelten analoge Gleichungen.



Ambipolarer Transport


  • Während die obigen Näherungen der Hauptgleichungen zur Beschreibung des Minoritäten-Transports in Niedriginjektion (lli) geeignet sind, ist der sogenannte "ambipolare Transport" für die Beschreibung von Halbleitern in Hochinjektion (hli) zu verwenden.
  • Um die ambipolare Transportgleichung abzuleiten, nehmen wir an, dass die Annahme #11 erfüllt ist: Δn = Δp.
  • Dazu müssen die Elektronen und Löcher nicht nur am gleichen Ort paarweise generiert/zugeführt werden, sondern auch am gleichen Ort paarweise "vernichtet"/entnommen werden.
  • Es darf also keine selektiven Mechanismen geben, die nur Löcher oder nur Elektronen entfernen.
  • Oder zumindest muss der Anteil der selektiv entfernten Überschuss-Ladungsträger vernachlässigbar klein sein:



  • Wenn diese Bedingung erfüllt ist, die Gleichgewichtskonzentrationen unabhängig von Ort und Zeit sind (homogene Dotierung, Annahmen #1 und #3) und #12 erfüllt ist, kann eine Differentialgleichung abgeleitet werden, die gleichzeitig für beide Sorten von Überschuss-Ladungsträgern gilt.
  • Sie wird als "ambipolar" bezeichnet, was so viel bedeutet wie "beide Polaritäten betreffend".
  • Mit #1, #3, #11 und #12 können wir die Hauptgleichungen schreiben als:



  • Dann wenden wir folgenden Trick an: Wir multiplizieren die erste Gleichung mit μ_p p, die zweite Gleichung mit μ_n n und addieren beide Gleichungen:



  • Das kann mit Hilfe von Abkürzungen geschrieben werden als:



  • Dabei wird die Abkürzung μ_a als ambipolare Beweglickeit bezeichnet und die Abkürzung D_a als ambipolare Diffusionskonstante.
  • Für sie gilt die Einsteinbeziehung nicht:



  • Für die ambipolare Transportgleichung lassen sich einige Sonderfälle betrachten:




Kleinsignal-Analyse


  • Es wurde schon erwähnt, dass die Überschussdichten ein einen zeitunabhängigen und einen zeitabhängigen Anteil aufgeteilt werden können:



  • Zusätzlich wird auch die Generationsrate in einen statischen und einen dynamischen Anteil zerlegt:



  • Damit kann z.B. die Minoritäten-Diffusionsgleichung eines p-Typ-Halbleiters geschrieben werden als:



  • Die Rekombinationsrate wollen wir nun allerdings nicht durch einen bloßen linearen Zusammenhang beschreiben, sondern mit Hilfe einer Taylorreihe annähern:



  • Damit wird die Diffusionsgleichung zu:



  • Für den statischen Zustand mit konstanter Generation gilt folgende Differentialgleichung:



  • Wenn wir diese von der oberen Gleichung abziehen, erhalten wir eine Differentialgleichung für den zeitabhängigen Anteil der Überschussdichte:



  • Um diese neue Diffusionsgleichung in die gleiche Form wie die Minoritäten-Diffusionsgleichung zu bringen, verwenden wir eine differentielle Minoritäten-Lebensdauer:



  • Damit haben wir für die Kleinsignal-Analyse eine zeitunabhängige und eine zeitabhängige Differentialgleichung:



  • Die erste Differentialgleichung arbeitet mit absoluten Größen, die zweite mit differentiellen Größen.
  • Wird mit einer Kleinsignal-Messmethode der Verlauf der injektionsabhängigen, differentiellen Lebensdauer bestimmt, kann die absolute Lebensdauer bei einer bestimmten Überschussdichte ∆n_0 theretisch durch Integration ermittelt werden:



  • Man sollte darauf auchten, absolute und differentielle Lebensdauern nicht zu verwechseln.
  • Wenn die Netto-Rekombinationsrate z.B. eine quadratische Funktion der Überschussdichte ist, können sich differentielle und absolute Lebensdauer um bis zu einen Faktor 2 unterscheiden: