Randbedingungen


x Bedarf an Randbedingungen
x Virtuelle Ebenen
x Absolutwerte und Steigungen
x Virtuelle Spannungen
x (Ober-)Flächenrekombination
x Diffusions-Randbedingungen mit Flächen-Rekombinations-Geschwindigkeiten
x Sättigungsstromdichten
x Allgemeine Randbedingungen
x Randbedingungen für das elektrische Potential
x Oberflächenladungen


Bedarf an Randbedingungen


  • Die Angabe von Randbedingungen ist für analytische Berechnungen wichtig, wie sie im nächten Kapitel durchgeführt werden und sie sind auch für numerische Berechnungen nötig.
  • Damit analytische Lösungen gefunden werden können, müssen die Randbedingungen eine Linearisierung und Entkopplung der Hauptgleichungen zulassen. Für analytische Berechnungen sind deshalb einige starke Vereinfachungen nötig.
  • Die Randbedingungen für numerische Berechnungen können dagegen "mächtiger" ausgelegt werden.
  • Im Kapitel über die Hauptgleichungen wurden schon einige allgemeine analytische Näherungslösungen für den Verlauf von Überschusskonzentrationen aufgeführt.
  • Um die Koeffizienten (A, B, ...) spezieller Lösungen zu bestimmen, sind noch Randbedingungen erforderlich.
  • Wir möchten also sinnvolle Randbedingungen für n, p und φ vorgeben.

  • Wie schon einmal erwähnt gibt es neben n, p und φ auch noch alternative Lösungsvariablen für die Hauptgleichungen, z.B. die Quasi-Ferminivaus E_(F,n), E_(F,p) und die intrinsische Energie E_i.
  • Wir können die Randbedingungen also auch für diese Größen angeben.
  • Hier sind noch einmal die Hauptgleichungen:



  • Zwei erste Randbedingungen ergeben sich, wenn wir einen stationären Zustand voraussetzen:



  • Um dann die drei Gleichungen über einen eindimensionalen Bereich mit zwei Rändern (an den Stellen x_1, x_2) zu integrieren, brauchen wir sechs unabhängige Randbedingungen.
  • Wenn wir die Absolutwerte des elektrischen Potentials φ festlegen möchten, sind zwei weitere Randbedingungen erforderlich.
  • Insgesamt benötigen wir also acht unabhängige Informationen über die beiden Ränder.
  • Wenn wir die Poisson-Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln (Näherung des quasi-neutralen Bereichs, 0 ≈ ρ), sind im Prinzip nur noch sechs unabhängige Randbedingungen zu spezifizeren.
  • Die ersten beiden Randbedingungen sind dann ja schon bekannt (gilt nur für den Sonderfall, dass es an den Rändern keine Ladungen gibt):



  • Bei den Berechnungen kommt es immer nur auf Energieunterschiede an, nicht auf Absolutwerte.
  • Es ist aber üblich, einen Bezugspunkt (Stelle an der gilt φ = 0) für das elektrische Potential einzuführen.
  • Wir können ihn beliebig festlegen und es gelte z.B.:



  • Dann bleiben (für diesen Sonderfall) noch fünf Randbedingungen offen.
  • Die Randbedingungen für das elektrische Potential werden weiter unten noch detaillierter beschrieben.

  • Die Gleichgewichtskonzentrationen ohne Beleuchtung n_0, p_0 folgen manchmal (bei homogener Dotierung am Rand, bei Raumptemperatur, usw.) direkt aus den Dotierkonzentrationen (siehe hier):



  • In diesem Fall brauchen wir uns bei den Randbedinungen für die Konzentrationen nur noch um die Überschusskonzentrationen Δn = n - n_0 und Δp = p - p_0 zu kümmern.
  • Für die analytischen Berechnungen werden wir die Randbedingungen mit Hilfe von Konstanten oder höchtens linearer Funktionen von Δn bzw. Δp vorgeben müssen.
  • Bei numerischen Simulationen dürfen die Randbedingungen mit komplizierteren Modellen beschrieben werden.
  • Bevor wir spezifischer werden, betrachen wir einige allgemeine Konzepte, die bei der Angabe von Randbedingungen interessant sind.


Virtuelle Ebenen


  • Die Verhältnisse an Oberflächen oder Grenzflächen von Halbleitern können ziemlich kompliziert sein.
  • Wenn wir einen Halbleiter kontaktieren möchten, brauchen wir irgendwo einen Halbleiter-Metall-Übergang (oder ein mehrschichtiges Kontaktsystem mit weiteren Materialien), da Stromkabel üblicherweise aus Metall sind.
  • Im Übergangsbereich kann es aufgeladene Dipolschichten, Bandverbiegungen, Tunneleffekte usw. geben.
  • Man kann aber einen Trick anwenden, um die ganze Geschichte zu vereinfachen.
  • Dazu stellen wir uns innerhalb des Halbleiters eine virtuelle Ebene vor (Abb. 12.1).


Virtuelle_Ebene.png
Abb. 12.1: Virtueller Rand eines Halbleiterbereichs.

  • Links kann es einen Metall-Halbleiterkontakt, eine Oberfläche an der Luft oder irgend eine andere Grenzschicht geben und es können sich die kompliziertesten Dinge abspielen.
  • Diese Dinge werden sich irgendwie auf die Konzentrationen n und p und auf das elektrische Potential φ in der gedachten virtuellen Ebene auswirken.
  • Für den "Hauptbereich" (rechts von der Ebene) nehmen wir an, dass es im Prinzip egal ist, was sich links von der virtuelle Ebene genau abspielt, so lange wir nur über die Verhältnisse an der virtuellen Ebene genau Bescheid wissen.
  • Die Größen an der virtuellen Ebene bestimmen die Randbedingungen für den "Hauptbereich", der uns interessiert.

  • Möchten wir allgemein die Hauptgleichungen im Hauptbereich zeitabhängig lösen, benötigen wir die zeitabhängigen Randbedingungen.
  • Manchmal treten Fälle auf, bei denen die zeitlichen Änderungen im Randbereich viel langsamer von statten gehen als im Hauptbereich.
  • Dann können wir für die zeitabhängige Lösung im Hauptbereich näherungsweise von zeitunabhängigen Randbedingungen an der virtuellen Ebene ausgehen.

  • Wir werden uns um die Lösungen der Hauptgleichungen mit Hilfe von Randbedingungen an virtuellen Ebenen kümmern.
  • Später kann man dann noch untersuchen, wie sich die Eigenschaften eines Randbereichs auf die Größen an der virtuellen Ebene auswirken.

  • Umgekehrt können wir in der Praxis mit Hilfe der Eigenschaften einer virtuellen Ebene einen gesamten Randbereich charakterisieren.
  • Da oft nur wenige Informationen über einen Randbereich vorhanden sind, ist dies eine sehr verbreitete Methode.
  • Die quantitativen Angaben über die virtuelle Ebene dienen dann zur vereinfachten Charakterisierung der Grenzfläche: "Wow, diese Siliziumnitridbeschichtung muss gut funktioniert haben! Das wissen wir, da die Verhältnisse an der virtuellen Oberfläche fantastisch sind." oder "Oh weh, da ist etwas schief gelaufen. Was genau an der Oberfläche los ist, wissen wir (noch) nicht. Aber mit diesem Zustand der virtuellen Ebene können wir die Oberfläche ganz und gar nicht gebrauchen."
  • Um die Verhältnisse an virtuellen Ebenen zu beschreiben, werden in der Photovoltaik z.B. Begriffe wie "effektive Oberflächen-Rekombinationsgeschwindigkeit" und "Emitter-Sättigungsstromdichte" verwendet.

  • Ein weiterer Bedarf für virtuelle Ebenen besteht aus folgendem Grund:
  • Es gibt Simulationssoftware für Halbleiterbauteile, z.B. PC1D, die nur den Halbleiterberiech selbst simulieren.
  • All das Wissen, dass über das "Trumherum" existiert, muss dann in geeigente Randbedingungen gepackt werden, die an virtuellen Ebenen/Geraden/Punkten spezifiziert werden.


Absolutwerte und Steigungen


  • Wir betrachten zwei Möglichkeiten, um den Verlauf einer Überschusskonzentration an einer virtuellen Ebene zu spezifizieren:
  • Entweder wird der Absolutwert einer Überschusskonzentration angeben, oder ihre "Steigung" (der Gradient) (Abb. 12.2), z.B:



  • Wenn es zwei Koeffizienten in einem Lösungsansatz gibt (z.B. A und B), sind auch zwei Randbedingungen nötig, um eine spezielle Lösung zu bestimmen.
  • Wir könnten also z.B. an einem Rand einen Absolutwert und am anderen Rand eine Steigung vorgeben.


Absolutwert_Steigung.png
Abb. 12.2: Absolutwert und Steigung einer Überschusskonzentration an virtuellen Ebenen.

  • Anstatt konstanter Spezifikationen werden bei den Randbedingungen in den meisten Fällen abhänige Größen (z.B. Δn = f(U, N_D, ...)) auftreten.
  • Die Steigungen und Absolutwerte können Funktionen "äußerer Größen" (wie z.B. einer angelegten Spannung) oder "innerer Größen" (wie z.B. von der Überschussdichte Δn selbst, der Dotierkonzentrationen N_A, N_D, usw. ...) sein.
  • Würden wir etwas formaler vorgehen, würden wir von einer "Dirichlet-Randbedingung" sprechen, wenn wir einen Absolutwert vorgeben.
  • Die Angabe der Steigung würden wir dann "Neumann-Randbedingung" nennen.
  • Wenn auf dem Rand stückweise Steigungen und stückweise Absolutwerte vorgegeben werden, spricht man von "gemischten Randbedingungen".
  • Von gemischten Randbedingungen kann auch gesprechen werden, wenn an einer Stelle für verschiedene Größen unterschiedliche Arten von Randbedingungen vergeben werden (z.B. einen Absolutwert für das elektrische Potential und eine Steigung für die Überschusskonzentration).
  • Näheres dazu findet man z.B. in Büchern über Elektrodynamik [Nolting, Grundkurs theoretische Physik 3].


Virtuelle Spannungen


  • Wir werden später einige Hilfsgrößen (z.B. S, j_0) verwenden um funktionale Zusammenhänge für Randbedingungen anzugeben.
  • Um den Absolutwert einer Konzentration anzugeben werden wir eine äquivalente virtuelle Spannung verwenden.
  • Für die Überschusskonzentrationen wurden schon folgende Schreibweisen eingeführt:



  • Anstatt der Übschusskonzentration selbst kann also auch die Lage eines Quasi-Ferminiveaus als Randbedingung dienen.
  • Der Energieabstand eines Quasi-Ferminiveaus zu einer Bezugsenergie (z.B. zum Ferminiveau E_F) kann alternativ auch mit Hilfe einer äquivalenten Spannung angegeben werden:



  • Die Spannung U_1 würde von einem "virtuellem Spannungsmessgerät" angezeigt werden, wenn man es direkt mit dem elektrochemischen Potential des Leitungsbandes E_(F, n) und mit dem Ferminiveau E_F verbinden könnte.
  • Könnte man umgekehrt dem Halbleiter mit einer virtuellen Spannungsquelle direkt eine lokale Spannung |U_1| + |U_2| aufprägen, entstände eine entsprechende Aufspaltung zwischen den Quasi-Ferminiveaus.
  • Eine "wirkliche" Spannung kann jedoch nur zwischen elektrochemischen Potentialen an zwei verschieden Orten gemessen werden!
  • Wenn Randbedingungen in Form von Spannungen spezifiziert werden sollen, sind zunächst ein Bezugspunkt und die Richtung der (virtuellen) Spannungsmessung anzugeben.
  • Wir können nun die Absolutwerte von Überschusskonzentrationen an virtuellen Ebenen mit Hilfe von virtuellen Spannungen spezifizieren. (Vorausgesetzt, wir kennen sinnvolle Werte für die virtuellen Spannungen.)



  • Wie sieht es mit den "Steigungen" der Überschusskonzentrationen aus?
  • Der Gradient einer Überschusskonzentration ergibt sich durch die Rekombination am Rand bzw. durch die Stromdichte in den Rand. Deshalb kommt jetzt ein Einschub zur Rekombination an Flächenelementen.


(Ober-)Flächenrekombination



  • Den zeitlichen Abfall der Überschussdichte einer Spezies (z.B. von Elektronen im Leitungsband) in einem Volumen dV hatten wir mit folgender Gleichung beschrieben (nach Abschalten der Generation, ohne Stromdichten):



  • Dabei ist ∆n eine Volumendichte und die Netto-Rekombinationsrate hat die Einheit [R] = 1 / (cm^3 s).
  • Ist die Rate R proportional zur Überschussdichte, macht es Sinn, eine Probortionalitätskonstante a_1 mit der Einheit [a_1] = 1 / s bzw. einen Koeffizienten τ mit der Einheit [τ] = s einzuführen:



  • Für die Rekombination an einem Flächenelement dA gehen wir von einer Überschuss-Flächendichte ∆n^S aus, für die eine ähnliche Gleichung gilt (S soll hier kein Exponent sein, sondern anzeigen, dass es ich um eine Flächendichte handelt):



  • Die Flächen-Netto-Rekombinationsrate R^S hat dann die Einheit [R^S] = 1/(cm^2 s).
  • Wenn die Rate proportional zur Flächen-Überschussdichte ist, macht es Sinn eine entsprechende Konstante einzuführen:



  • Diese "Flächenlebensdauer" hätte dann wieder die Einheit einer Zeit.
  • Nun ist die Rekombination an einer Oberfläche aber nicht wirklich ein zweidimensionaler Prozesess.
  • Teilchen, die sich in der betrachteten Ebene befinden, haben viel weniger Möglichkeiten, den ("weit entfernten") Störstellen zu begegnen, als "Volumen-Elektronen", denen eine Vielzahl an Wegen offen steht, um zu den beachbarten (virtuellen) Störstellen zu gelangen.
  • Was uns eigentlich interessiert, ist die Abhängigkeit der Flächen-Rekombinationsrate von der ("benachbarten") Volumendichte ∆n.
  • Wir möchten, dass das Superpositionsprinzip gilt und wir möchten analytische Lösungen für die Hauptgleichungen finden.
  • Daher möchten wir gerne lineare Randbedingungen.
  • Als ersten Anlauf nehmen wir daher an, dass die Flächen-Netto-Rekombinationsrate direkt proportional zur benachbarten Volumendichte Δn (Abb. 12.3) ist:




Flaechenrekombination.png
Abb. 12.3: Rekombination an einem Flächenelement.

  • Die eingeführte Proportionalitäts-"Konstante" hat die Einheit einer Geschwindigkeit: [S] = cm / s.
  • Deshalb nennen wir sie "Oberflächen-Rekombinations-Geschwindigkeit (ORG)", "surface rekombination velocity (SRG)" oder allgemeiner "Flächenrekombinationsgeschwindigkeit".

  • Wollten wir eine Linien-Rekombination in Abhängigkeit einer Volumendichte beschreiben, ergäbe sich analog ein Parameter mit der Einheit [L] = cm^2 / s:



  • Wollten wir anaolog zum Formalismus bei der Rekombination im Volumen bleiben, müssten wir eigentlich Parameter für die Kehrwerte von S und L einführen.
  • Da S die Einheit einer Geschwindigkeit hat (und da Shockley die Sache so eingeführt hat [Quelle]), verwenden wir aber direkt S als Parameter.
  • Der zu S und L korrespondierende Parameter bei der Volumen-Rekombination wäre dann a_1 = 1 / τ.
  • Offiziell definieren wir die Flächenrekombinationsgeschwindigkeit S_i einer Spezies i als Quotient aus zugehöriger Netto-Flächenrekombinationsrate und Überschuss-Volumendichte Δn_i:



  • Vorsicht! Bei der Definition der Lebensdauer steht die Überschussdichte im Zähler statt wie hier im Nenner.
  • Als differentielle (Ober-)Flächenrekombinationsgeschwindigkeit bezeichnen wir entsprechend:



  • (Bei direkter Analogie zum Formalismus bei der Volumen-Lebensdauer würde man auch hier auf der rechten Seite den Kehrwert bilden.)
  • Bei einer "Linien-Rekombination" gilt für die Definition des charakteristischen Parameters L entsprechend:



  • Die Rekombination über Störstellen in Ebenen kann ähnlich behandelt werden wie die Rekombination über Störstellen im Volumen: In etwas abgewandelter Form wird (in einem spätern Kapitel) der Shockley-Read-Hall-Formalismus wieder zum Einsatz kommen.
  • Bei der Volumenrekombination kann ein einzelnes tiefes Störstellenniveau die Rekombination dominieren. Bei der Rekombination an Oberflächen müssen dagegen eine Vielzahl von Störstellenniveaus berücksichtigt werden. Wir werden uns deshalb noch mit Integralrechnung befassen, um vernünftige Ausdrücke für die Flächen-Rekombinationsrate zu erhalten.
  • Dennoch gibt es formale Ähnlichkeiten zwischen der Rekombination an Flächen und der Rekombination im Volumen:
  • Anstatt der Minoritäten-Lebensdauern τ_n und τ_p für die Netto-Volumenrekombination treten die Minoritäten-ORGs S_n und S_p für die Netto-Flächenrekombination auf.
  • Sie beschreiben die Netto-Flächenrekombinationrate der "Minoritäten in einem See von Majoritäten bei Niedriginjektion".
  • Bei der Betrachtung von Sonderfällen erhalten wir wieder lineare und unabhängige Gleichungen.
  • Wie hängen diese (im einfachsten Fall konstanten) Geschwindigkeiten aber nun mit den Randbedingungen zusammen?


Minoritäten-Diffusions-Randbedingungen


  • Wir suchen nun Ausdrücke für die Steigungen der Überschusskonzentrationen am Rand eines homogen dotierten, quasi-neutralen n-Typ-Halbleiterbereichs unter Niedriginjektion.
  • Die Netto-Flächenrekombinationsrate muss dann mit der (Diffusions-)Teilchenstromdichte am Rand übereinstimmen!
  • Die elektrische Stromdichte j_p der Löcher ist (in einem quasi-neutralem Bereich, in dem das Produkt p E vernachlässigbar klein ist und bei einer eindimensonalen Betrachtung):



  • Wenn vom Flächenelement dA auf der linken Seite eine solche Stromdichte ins Volumen dV fließen soll, muss es wegen der Teilchenerhaltung eine entsprechende Netto-Flächen-Generationsrate geben, die diese Stromdichte produziert:



  • Soll es umgekehrt am Flächenelement dA eine Netto-Flächen-Rekombinationsrate geben, müssen die Teilchen durch eine entsprechende (negative) Stromdichte aus dem Volumen geliefert werden:



  • Dabei haben wir angenommen, dass alle ankommenden Minoritäten in der virtuellen Ebene rekombiniern und die Ebene nicht durchdringen.
  • Es wäre für uns nicht gut, die Randbedingung für die Überschussdichte direkt mit Rekombinationsraten zu spezifizieren, da diese selbst von der Überschussdichte abhängt.
  • Wir geben daher den funktionalen Zusammenhang mit Hilfe der ORGs an (die manchmal näherungsweise injektionsunabhängig sind):



  • Die Randbedingung (Bedingung für die Steigung von Δp an einer virtuellen Ebene in einem n-Typ-Halbleiter) erhält damit folgende Form:



  • Sie charakterisiert einen Vorgang, bei dem freie Ladungsträger an einer Grenzfläche rekombinieren.
  • Für den Rekombinationsvorgang müssen gleich viele Löcher und Elektronen zu den virtuellen Störstellen in der Ebene fließen.
  • Vorsicht! Bei diesem Vorgang wird keine Ladung durch die virtuelle Ebene transportiert.
  • Diese Art von Randbedinung alleine eignet sich daher noch nicht für die Modellierung von elektrischen Kontakten, durch die eine Netto-Stromdichte fließt.

  • Die (Ober-)Flächenrekombinationsgeschwindigkeiten S werden immer positiv angegeben.
  • Den Unterschied in den Richtungen der Elektronenbewegung und der technischen Stromdichte brauchen wir nicht zu berücksichtigen, wenn wir nur Teilchenströme betrachten.
  • Je nach gegebener Situation und Wahl des Koordinatensystems sind allerdings manchmal positive und manchmal negative Steigungen der Überschusskonzentrationen zu erwarten.
  • Daher muss man sich die Vorzeichen in den Formeln der Randbedingungen schon gut überlegen.
  • Oft hilft folgende Frage: "Sind Δn und Δp in der Mitte größer oder kleiner als am Rand des Bereiches?"
  • Wir nehmen z.B. an, dass am linken Rand (x = x_l = x_1) eine positive und am rechten Rand (x = x_r = x_2) eine negative Steigung vorliegt:



  • Die ORGs können maximal die thermische Geschwindigkeit der Ladungsträger annehmen (S_max = v_th ≈ 10^7 cm / s).
  • In der Praxis können die ORGs durch geeigente Oberflächenbehandlungen/beschichtungen bis auf Werte von einigen 10...100 cm / s verkleinert werden.


Sättigungsstromdichten


  • Flächenrekombinationsraten und Rekombinations-Stromdichten (= Stromdichten, die die zur Rekombination benötigten Teilchen anliefern) können also mit Hilfe von (Ober-)Flächen-Rekombinations-Geschwindigkeiten (ORGs) modelliert werden.
  • Das ist sehr praktisch, da wir dadurch (mit konstanten ORGs) lineare Randbedingungen erhalten. Die Hauptgleichungen sind dann analytisch lösbar.
  • Eine Alternative zu den ORGs ist das Konzept der Sättigungsstromdichte.
  • Um die Angabe von Sättigungsstromdichten als Randbedingung zu verstehen, gehen wir die Flächenrekombinationraten noch einmal anders an.
  • Jede absolute Rekombinationsrate von Elektronen im Leitungsband mit Löchern im Valenzband lässt sich in folgender Form aufschreiben:



  • Das sagt so viel aus wie: "Je mehr Elektronen es gibt, desto größer wird die Rate sein und je mehr Löcher es gibt, desto größer wird die Rate sein".
  • Der Vorfaktor wird je nach Rekombinationsmechanismus selbst eine Funktion von n und p sein (er ist allgemein keine Konstante!).
  • Jede absolute Rekombinationsrate können wir in obige Form bringen, indem wir formal das Produckt n p ausklammern.
  • In der Photovoltaik betrachten wir Netto-Rekombinationsraten und die Netto-Raten werden für für n p = n_0 p_0 = (n_i)^2 zu null.
  • Jede Netto-Rekombinationsrate können wir formal immer schreiben als:



  • Hier sind Beispiele für Rekombinationsraten, die auf diese Form gebracht wurden (haben wir bis auf R_SRH noch nicht abgeleitet):



  • Wir nehmen deshalb an, dass wir für jeden "virtuellen Rekombinationsprozess" die Rekombinations-Stromdichte in die virtuelle Ebene formal schreiben können als:



  • Den Vorfaktor j_0 bezeichnen wir als "Sättigungsstromdichte". Er muss nicht unbedingt eine Konstante sein, sondern ist allgmein selbst eine Funktion von n, p, usw.
  • Die Sättigungsstromdichte j_0 ist ein charakteristischer Parameter für einen Randbereich und lässt sich experimentell ermitteln.

  • Wir kennen schon das erweiterte Massenwirkungsgesetz für nicht-degenerierte Halbleiter:



  • Damit lässt sich die Gleichung für die Minoritäten-Rekombinations-Stromdichte auch schreiben als:



  • Wir betrachten den Sonderfall der Minoritäten-Diffusion in einem quasi-neutralen Halbleiter.
  • Anstatt der Aufspaltung der Quasi-Ferminiveaus sprechen wir von einer äquivalenten virtuellen Spannung U_v.
  • Dann nehmen wir an einer virtuellen Ebene als Randbedingung an, dass die Flächenrekombinationsrate der Diffusions-Stromdichte der Minoritäten entspricht. Es sollen also wieder alle Minoritäten an der virtuellen Ebene rekombinieren (Rekombinations-Stromdichte = Minoritäten-Stromdichte):



  • (Zusätzlich wird in der virtuellen Ebene eine gleich große Stromdichte an Majoritäten für die Rekombination benötigt. Falls noch Majoritäten übrig bleiben, können diese die virtuelle Ebene durchdringen.)
  • Die Sättigungsstromdichte j_0 ist damit eine Größe, die die virtuelle Ebene bzw. den angrenzenden Randbereich charakterisiert.
  • Sie kann manchmal als konstant angenommen werden.
  • Dann hängt die Rekombinationsstromdichte j_n exponentiell mit der virtuellen Spannung U_v zusammen und hat die Form einer idealen Diodenkennlinie.
  • Diese Art von Randbedingung kann z.B. bei zweidimensionalen Simulationen sinnvoll sein, bei denen es Randbereiche mit unterschiedlichen Emittern gibt.
  • Obwohl für die einzelnen Randbereiche jeweils "Eindiodenkennlinien" angenommen werden, kann das Verhalten des gesamten Bauteils durchaus komplizierter sein.
  • Im Prinzip könnte man die obigen Überlegungen auch schon als Herleitung der Diodenkennline auffassen :-). Wir werden uns eine andere Herleitung später noch ausführlich anschauen.

  • Wir kennen nun zwei Möglichkeiten, um die Steigung der Überschusskonzentration zu spezifizieren: mit einer Sättigungsstromdichte j_0 oder mit einer Flächenrekombinationsgeschwindigkeit S.
  • Der formale Zusammenhang zwischen den beiden Größen ist laut unseren allgemeinen Definitionen:



  • Für einen p-Typ Halbleiter in Niedriginjektion (Δp << p) lässt sich das auch schreiben als:



  • Falls dann noch gilt n_0 ≈ (n_i)^2 / N_A, folgt:



  • Eine weitere Darstellung folgt für einen p-Typ-Halbleiter in Hochinjektion (Δn ≈ Δp, p_0 ≈ N_A, n_0 << p_0):



  • Die Flächenrekombinationsrate ist in diesem Fall keine lineare, sondern eine quadratische Funktion der Überschussdichte und S ist injektionsabhängig: S = f(Δn).
  • Mit so einer Randbedingung sind die Hauptgleichungen nicht analytisch lösbar (was für numerische Simulationen allerdings kein Problem ist).



Tabelle X.1: Zusammenhang zwischen ORG S und Sättigungsstromdichte j_0.

  • Experimentell lässt sich feststellen, dass ORGs stärker von der Basisdotierung abhängen als Sättigungsstromdichten.
  • Es ist daher praktisch, eine Sättigungsstromdichte anstatt von vielen ORGs anzugeben, wenn man bei Simulationen die Basisdotierung variieren möchte.
  • Im frei verfügbaren Programm PC1D zur eindimensonalen Simulation von Halbleiterbauteilen wird die Oberflächenrekombination mit einem Shockley-Reed-Hall-Modell einer einzelnen Störstelle beschrieben.
  • Die entsprechende Rekombinationsstromdichte ist dann:





Allgemeine Randbedingungen


  • Wir betrachten nun zwei aneinander grenzende Bereiche, die durch eine virtuelle Ebene getrennt werden.
  • Die Frage ist, wie die Bedingungen für den "Übergang von einer Seite auf die andere Seite aussehen".
  • Wie verändert sich das elektrische Potential, wie verändern sich Stromdichten, usw. ?
  • ...




Randbedingungen für das elektrische Potential


  • Wir wissen inzwischen, wie wir Absolutwerte und "Steigungen" von Überschusskonzentrationen Δn, Δp mit Hilfe von (virtuellen) Spannungen und ORGs angeben können.
  • Wie sieht es mit Randbedingungen für das elektrische Potential aus?
  • Wir kennen schon folgende Zusammenhänge (siehe z.B. Abb. 10.1):



  • Ein Ausdruck für den Gradienten des elektrischen Potentials φ lässt sich alternativ z.B. auch elegant aus der Gleichung für den Löcherstrom ableiten.
  • Es gilt:



  • Daraus folgt für den Gradienten von φ:



  • Der Absolutwert lässt sich z.B. wie folgt aufschreiben:



  • Aussagen über das elektrische Potential φ bzw. seinem negativen Gradienten E können wir auch mit Hilfe des Gaußschen Satzes erhalten:



  • Betrachten wir als Spezialfall eine geschlossene Oberfläche A um einen quasi-neutralen Halbleiterbereich.
  • Wir nehmen an, dass die eingeschlossene Ladung null ist: Q = 0.
  • Dann muss das Oberflächenintegral über das elektrische Feld auch null ergeben:



  • Das sagt alleine noch nichts über das elektrische Feld auf der linken oder rechten Seite unserer geschlossenen Oberfläche aus.
  • Wählen wir aber eine geeignete Oberfläche ("eine schöne symmetrische Büchse um den Halbleiter", die genau die Ränder trifft), dürfen sich die elektrischen Felder an den gegenüberliegenden Seiten nicht unterscheiden.
  • Würden sie das tun, könnte das Integral über die symmetrische Büchse niemals null ergeben.

  • An den Rändern eines quasi-neutralen Bereichs muss das elekrische Feld deshalb dem äußeren elektrischen Feld E_0 entsprechen.
  • Wählen wir E_0 = 0, müssen das elektrische Potential φ und die Vakuumenergie E_vac = q φ am Rand konstant verlaufen:



  • Ein äußeres elektrisches Feld können wir z.B. einstellen, indem wir ein Stück Halbleiter zwischen zwei Kondensatorplatten legen.
  • Dann wird das Vakuumniveau am Rand entsprechend gekippt:




Oberflächenladungen


...