Ströme


x Ursache(n) von Strömen
x Ströme in Homo-Solarzellen
x Generationsströme
x Drift versus Diffusion
x Abschirmung
x Diffusion
x Drift



Ursache(n) von Strömen


  • In diesem Kapitel soll es um Ströme bzw. Stromdichten in Solarzellen gehen.
  • Für den Nutzen ist später die elektrische Leistung der Solarzelle, also das Produkt aus Strom und Spannung entscheidend.
  • Bei der Bedeutung verschiedener Beiträge zur Stromdichte sollten daher die dazugehörigen Spannungen nicht vergessen werden.
  • Trotzdem ist es interessant, erst einmal zu untersuchen, welche Ursachen für Ströme es in Solarzellen überhaupt gibt.
  • Ob ein Strom von Elektronen oder Löchern dann am Kontakt ankommt, hängt von den Ladungsträgerlebensdauern im Material ab.
  • Ein Teil der freien Ladungsträger wird schon rekombinieren, bevor der externe Stromkreis erreicht werden konnte. Der entsprechende Anteil der vorher absorpierten Energie geht unserem Nutzen in Form von Wärme verlohren.

  • Bei Beleuchtung der Solarzelle werden Gradienten der Quasi-Ferminiveaus erzeugt, welche Teilchenströme antreiben.
  • Dazu betrachten wir noch einmal zwei verbundene "Kammern" mit zwei unterschiedlichen elektrochemischen Potentialen.
  • Die Teilchen bewegen sich so lange von der einen zur anderen Kammer, bis die elektrochemischen Potentiale ausgeglichen sind.
  • Die Fenergie wird während des Teilchen- und Energietransports minimiert.
  • Wir nehmen an, dass die Teilchenstromdichte j_Teilchen im "Verbindungsrohr" proportional zum Gradienten des elektrochemischen Potentials E_F ist:



  • Dies gilt auch für die elektrische Stromdichte j, die mit der Teilchenstromdichte verbunden ist:



  • Die Stromdichte ist nicht nur proportional zum Gradienten des Potentials, sondern auch proportional zur Konzentration der beweglichen Ladungsträger:
  • Je mehr freie Ladungsträger vorhanden sind, desto mehr können durch den Gradienten angetrieben werden und desto größer wird die Stromdichte:



  • Diese Zusammenhänge gelten nicht nur für "Teilchen in zwei verbundenen Kammern", sondern auch für die Elektronen im Leitungsband und die Löcher im Valenzband eines Halbleiters.
  • Wir führen die Proportionalitätskonstanten b_n und b_p ein und schreiben:



  • Diese wichtigen Beziehungen können formal auch aus der Boltzmann-Transportgleichung abgeleitet werden, was wir hier aber nicht tun. Für j__n ergibt sich z.B. folgender Ausdruck, der bei verschwindenden Temperaturgradienten in unsere obige Formel für j_n übergeht [PV1.6]:



  • Dabei ist S_n der sogenannte Seebeck-Koeffizient und T_e ist die effektive Elektronentemperatur, was wir aber alles eigentlich gar nicht brauchen. Es sollte damit nur gezeigt werden, dass sich unserere Gleichungen als ein Sonderfall einer noch allgemeineren Beschreibung von Halbleitern ergeben.
  • (Schön, dass die Gleichungen für Elektronen und für Löcher so symmetrisch aussehen, oder? Wenn man sich die Vorzeichen überlegt, kann man sich einen Knoten in den Kopf machen... Technische Stromrichtung...Richtung der Teilchenbewegung...Proportionalität zum negativen Gradienten... So wie die Gleichungen da stehen entsprechen sie den üblichen Vorzeichenkonventionen.)
  • Die Proportionalitäts-"Konstanten" b_n und b_p nennen wir "Beweglichkeiten". Ihre Einheit ist (cm^2) / (V s) und wir werden sie später noch genauer untersuchen.
  • Da die Teilchenstromdichte und die elektrische Stromdichte über die Elementarladung zusammenhängen, werden die Beweglichkeiten manchmal in der Literatur etwas anders definiert. Die Elementarladung wird dann aus dem Proportionalitsfaktor herausgezogen und würde in unseren Formeln für die Stromdichten als weiterer Faktor auftauchen. Die Einheit dieser Beweglichkeiten wäre dann entsprechend (cm^2) / (V s C).
  • Weitere Schreibweisen ergeben sich auch noch wie folgt:



  • In der Literatur kommt für Beweglichkeiten auch häuftig das Symbol µ vor (das wir schon für chemische Potentiale verwendet hatten).
  • Statt den Indize "n" und "p" sind auch manchmal die Indize "e" und "h" zur Unterscheidung der Größen im Leitungs- und Valenzband üblich.
  • Dann sehen die Gleichungen so aus:



  • Die Gesamtstromdichte an einem bestimmten Ort in der Solarzelle ergibt sich als Summe aus den Beiträgen von Leitungs- und Valenzband:



  • Die Frage nach der Ursache von Strömen kann alternativ auch so gestellt werden:
  • Was sind die Ursachen für die Gradienten der Quasi-Fermieniveaus?
  • Oder so: Wieso ist das Änderungsverhalten der Fenergie mit der Teilchenzahl in einem Bereich der Solarzelle anders als in einem anderen Bereich?

  • Wie groß ein Strom bei einem vorhandenen Gradienten tatsächlich ist, hängt dann noch von der Beweglichkeit und der Konzentration der Ladungsträger an der Stelle ab:
  • Möchte man bei flachen Verläufen der Quasi-Ferminiveaus (=der elektrochemischen Potentiale) schon große Stomdichten erzeugen, sollte man möglichst für große Teilchenkonzentrationen und große Beweglichkeiten sorgen.

  • Die Gradienten der Quasi-Fermieniveaus können jeweils in mehrere Komponenten ("Teil-Ursachen") zerlegt werden.
  • Wie sehen diese Komponenten aus? Darum soll es jetzt gehen...
  • Für das Quasi-Ferminiveau der Elektronen im Leitungsband hatten wir folgenden Ausdruck abgeleitet (für nicht-degenerierte Halbleiter):



  • Wir gehen nun davon aus, dass wir alle Größen in dieser Formel als lokale Größen auffassen dürfen. Das heißt, es soll lokale (Quasi-)Gleichgewichte geben.
  • Wir gehen auch davon aus, dass die Temperatur T nicht vom Ort abhängt und bilden dann den Ortsgradienten:



  • Das können wir auch für die Löcher im Valenzband tun:



  • Die Ausdrücke für die beiden Stromdichten lauten damit bisher:



  • Eine örtliche Veränderung der effektiven Zustandsdichten kann auftauchen, wenn die Solarzelle aus verschiedenen Arten von Halbleitern besteht ("Heterosolarzelle") oder sich z.B. innerhalb einer Schicht die Zusammensetzung des Materials ändert.

  • Wir können eine Stromdichte auch verursachen, indem wir für einen Gradienten der Teilchenkonzentration n sorgen (vorausgesetzt, dass andere Anteile den Effekt nicht gerade aufheben.)
  • Gradienten der Teilchenkonzentrationen können wir z.B. durch lokale Beleuchtung, Dotierung oder speziell mit der Hilfe von Membranen erzeugen.

  • Wie sieht es mit der dritten "Ursache" aus? Kann ein Gradient der Energie E_c der Leitungsbandkante oder von E_v entstehen?
  • Jepp, das ist möglich. Um die Frage genauer zu betrachten, führen wir aber zunächst noch einige neue Größen ein (Abb. 10.1).

Energieabstaende2.png
Abb. 10.1: Energieabstände im Banddiagramm.

  • Im Diagramm verläuft vertikal die Energie und horizontal eine Ortskoordinate, z.B. x. Der Nullpunkt der Energieskala kann beliebig gewählt werden (Manchmal wird er sogar unendlich weit nach oben gesetzt.) und wurde hier nicht mit eingezeichnet.
  • Die oberste Kurve im Diagramm vertritt die sogenannte Vakuumenergie E_vac. Wird einem Elektron diese Energie mitgegeben, ist es frei von Kräften des Festkörpers.
  • E_vac ist eine lokale Größe (wird daher auch als "local vakuum level" bezeichnet) und sollte nicht mit einem konstanten Energie-Referenzniveau verwechselt werden. (Die Wahl des Begriffs "Vakuumenergie" könnte anfangs etwas verwirrend sein, ist aber so in der Literatur üblich.)
  • Man kann sich E_vac als oberes Ende des Leitungsbandes vorstellen.
  • Die Bedeutung der Vakuumenergie E_vac für uns liegt in ihrer Verknüpfungen zum elektrischen Feld E und zum elektrischen Potential φ, die später noch auftauchen werden.
  • Den Abstand zwischen E_vac und der Leitungsbandkante E_c bezeichnen wir als Elektronenaffinität χ_n.
  • Der Abstand χ_n ist vom Material abhängig und kann anders als in Abb. 10.1 auch eine Funktion des Ortes sein.
  • Den Abstand zwischen der Vakuumenergie E_vac und dem Fermieniveau E_F bezeichnen wir als Austrittsarbeit oder "work function" Φ.
  • In einem Halbleiter gibt es normalerweise keine Elektronen, die wirklich die Energie E_F haben (da E_F ja meistens in der Bandlücke liegt). Deshalb lässt sich Φ experimentell nicht so leicht bestimmen.
  • Die übliche (historisch gewachsene) Bezeichnung "Austrittsarbeit" für Φ macht bei Glühemissionsversuchen mit Metallen Sinn. Die Austrittsarbeit ist dann die minimale Energie die nötig ist, um ein Elektron aus dem Festkörper austreten zu lassen. (Bei Metallen stimmen χ_n und Φ überein.)
  • Der Begriff der Elektronenaffinität kommt ursprünglich aus der Chemie. Dort ist damit die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand eines neutralen Atoms und dem Grundzustand des zugehörigen (einfach negativ geladenen) Ions gemeint.
  • Für uns sollen die beiden Begriffe einfach nur für zwei (ortsabhängige) Energieabstände im Banddiagramm stehen. Wer die Begriffe nicht mag, kann sich eigene Namen ausdenken oder nur in Symbolen denken: der Abstand zwischen E_vac und E_c ist χ_n und der Abstand zwischen E_vac und E_F ist Φ (Abb. 10.1).
  • Um χ_n und Φ miteinander in eine Formel zu packen, bräuchten wir z.B. den Abstand zwischen E_c und E_F oder zwischen E_F und E_v.
  • Für den Sonderfall eines neutralen, homogen dotierten Halbleiters und vollständiger Ionisation der Dotieratome haben wir diese Abstände schon berechnet:



  • Einen allgemeingültigen analytischen Ausdruck kennen wir aber leider nicht.
  • Abb. 10.1 ist noch nicht die komplizierteste Darstellung eines Banddiagramms. Der Gradient ("die Steigung") von E_c muss z.B. nicht konstant sein. Der Verlauf von E_vac könnte verbogen sein, usw.
  • Um das Ganze noch etwas unübersichtlicher zu machen, könnte man in die Abbildung auch noch weitere Größen wie z.B. die Löcheraffinität χ_p oder kinetische Energien einzeichnen, was wir lieber erst mal lassen. :)
  • Aus dem Diagramm können zumindest folgende Zusammenhänge abgelesen werden (mit E_g = E_c - E_v):



  • Damit erhalten wir für die Orts-Gradienten der Bandkanten-Energien E_c und E_v:



  • So, nun kommen auch noch elektrische Felder ins Spiel.
  • Dazu stelle sich die Leserin/der Leser vor, dass eine negativ geladene Metallkugel in den Händen liege.
  • Die linke und die rechte Wand des Zimmers bestehen aus zwei riesigen Metallplatten. Die rechte Platte ist negativ aufgeladen, die linke positiv.
  • Wenn man die Kugel näher zur rechten Wand bewegen möchte, muss man Energie aufwenden.
  • Die Energie der Kugel steigt immer weiter an, je weiter man nach rechts in Richtung Wand läuft.
  • Trägt man die Energie der Kugel in ein Diagramm auf, erhält man einen ähnlichen Verlauf wie den von E_vac.
  • Wir definieren den Zusammenhang zwischen dem elektrostatischen Feld E und der Vakuumenergie E_vac eines Teilchens mit der Ladung q als:



  • Das elektrische Feld ist also ein Maß für das Änderungsverhalten von E_vac.
  • Bei einem linearen Anstieg von E_vac könnte man also rückschließen, dass das elektrische Feld E (welches z.B. durch einen Kondensator oder eine interne Ladungsverteilung in der Solarzelle erzeugt wurde) konstant ist.
  • Wenn man Elektronen in einem verbogenem Leitungsband betrachtet...sie möchten am liebsten "wie Billiardkugeln den Berg hinab rollen".
  • Löcher "möchten dagegen wie Luftblasen in der Badewanne hochsteigen" oder besser wie "Heliumballons an einer schrägen, glatten Zimmerdecke nach oben wandern."
  • Wenn es außer den Gradienten der Bandkanten keine weiteren Gradienten gibt, tun sie das tatsächlich auch.
  • Um zu entscheiden, ob etwas "durch die Gegend kugelt", darf man allerdings nicht nur die Leitungs- oder Valenzbandkante anschauen.
  • Es kommt auf den Verlauf der Quasi-Fermieniveaus an. Wenn die Quasi-Ferminiveaus eine Steigung aufweisen, werden Ladungsträger bewegt. Verlaufen die Quasi-Ferminiveaus dagegen horizontal, wird kein Teilchenstrom fließen.

  • Der Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld E und dem elektrostatischen Potential φ ist:



  • Nach unseren bisherigen Konventionen gilt daher:



  • Die Richtung für die Messung einer Energieänderung ΔE_vac und die Richtung für die Messung einer elektrostatischen Spannung U = Δφ sind entgegengesetzt gerichtet:
  • Wird an einem Punkt B relativ zu einem Referenzpunkt A das elektrische Potential um U_a erhöht (eine äußere positive Spannung U_a = φ_B - φ_A angelegt), senkt dies die Vakuumenergie E_vac am Punkt B um q U_a relativ zu Punkt A ab.

  • Nun zurück zu den Stromdichten. Wir können sie mit Hilfe der obigen Zusammenhänge schreiben als:



  • So, haben wir nun alles erfasst, was mit Stromdichten zu tun hat? Nein.
  • Es gibt auch noch andere Mechanismen in Halbleitern, bei denen Ströme fließen und dadurch die Fenergie verkleinert wird. Beispiele dafür sind der Tunneleffekt in Tunneldioden und das sogenannte "carrier hopping".
  • Falls es doch Temperaturgradienten geben sollte, würden auch dadurch noch weitere Anteile der Stromdichte entstehen.
  • Ein erzeugter Strom kann in einer "Senke verschwinden", bevor er beim Kontakt ankommt. Für den Transport der Teilchen steht im Mittel nur die Zeit der Ladungsträgerlebensdauer zur Verfügung.
  • Mögliche "Senken" für Ströme sind Oberflächen und Verunreinigungen im Kristall. Vorher bewegliche Ladungsträger werden wieder vom Kristall gebunden und die angelieferte Energie wird in Wärme umgewandelt.
  • Die bisherigen Gleichungen sollen aber erst mal zur Beschreibung von Stromdichten ausreichen.




Ströme in Homo-Solarzellen


  • Bei Solarzellen, die aus einem einzigen Grundmaterial bestehen ("Homozellen"), vereinfachen sich die Formeln im Vergleich zu Zellen aus unterschiedlichen Materialien ("Heterozellen").
  • Wir gehen davon aus, dass die geringen Beimischungen durchs Dotieren die Materialeigenschaften nur unmerklich beeinflussen.
  • Das bedeutet, dass die Gradienten von E_g, χ_n, N_c, N_v wegfallen und die Stromdichten haben die Form:



  • Wir führen folgende Abkürzungen ein:



  • Die Proportionalitätskonstanten D_n und D_p zwischen dem jeweiligen Gradienten der Konzentration und des resultierenden Anteils der Stromdichte werden auch als "Diffusionskonstanten" bezeichnet.
  • Damit können wir die Gleichungen z.B. schreiben als:



  • Dies kann man so interpretieren: Es gibt jeweils einen Teil der Stromdichte, der proportional zur Konzentration freier Ladungsträger ist und einen anderen Teil, der proportional zum Gradienten der Konzentration ist.
  • Die Gesamtstromdichte in Homo-Zellen ist:



  • Dies kann man auch so lesen: Es gibt einen Teil der Stromdichte, der durch Driftbewegungen in einem Feld verursacht wird und einen anderen Teil, der auf Diffusion (Teilchenbewegung aufgrund eines Konzentrationsgradienten) beruht.
  • Für den Sonderfall, dass keine Konzentrationsgradienten vorhanden sind, wird die Gleichung zu:



  • Die Stromdichte bezeichnen wir dann als Driftstromdichte j_drift.
  • Beachte, dass Elektronen und Löcher vom elektrischen Feld in verschiedene Richtungen getrieben werden (Abb. 10.2).
  • (Die Kondensatorplatten in Abb. 10.2 sind nur "symbolisch" eingezeichnet...den verschiedenen Minuszeichen auf der rechen Seite sind daher z.B. keine bestimmten Energien zuzuordnen, weil sie in unterschiedlichen "Höhen" eingezeichnet sind...oder so. )


Driftstrom1.png
Abb. 10.2: Banddiagramm bei Driftstrom.

  • Für Driftströme gilt der Zusammenhang:



  • Die Proportionalitätskonstante σ zwischen Driftstromdichte und elektrischem Feld bezeichnet man als Leitfähigkeit.
  • Der spezifische Widerstand ρ ist der Kehrwert der Leitfähigkeit und es gilt:





Einschub zu (üblichen) Einheiten:





  • Für den Sonderfall, dass kein elektrisches Feld E vorhanden ist (es vernachlässigbar klein wird), geht die Gesamtstromdichte dagegen in die Diffusionsstromdichte j_diff über (Abb. 10.3):




Diffusionsstrom.png
Abb. 10.3: Banddiagramm bei Diffusionsstrom.

  • Da in Solarzellen der Transport von Teilchen (Elektronen, Löcher) auch immer mit dem Transport von Ladungen verbunden ist, können Diffusion und Drift streng genommen nicht voneinander getrennt werden.
  • Deshalb schreiben wir hier noch einmal die Gleichungen auf:



  • Da das elektrische Feld E der negative Gradient des elektrischen Potentials φ ist, werden die "Drift-Diffusons-Gleichungen" in der Literatur alternativ manchmal geschrieben als:


  • Damit diese sehr häufig verwendeten Gleichungen gelten, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein [PV1.4, PV1.6]:
  • Für Elektronen und Löcher gibt es jeweils ein thermisches Quasi-Gleichgewicht mit einem charakteristischem Quasi-Ferminiveau und einer charakteristischen Temperatur.
  • Das würde z.B. nicht gelten, wenn die Energiebänder zu schmal sind oder zu eng beieinander liegen oder es zu viele Zustände zwischen den Bändern gibt. Dann hätten wir nicht wirklich einen Halbleiter.
  • Die Temperaturen der Elektronen und der Löcher sollen immer die gleichen wie die Temperatur des Gitters sein.
  • Dies könnte z.B. nicht gelten, wenn die Ladungsträger zusätzliche kinetische Energie durch ein sehr starkes elektrisches Feld erhalten. Zur Beschreibung der "Heißen Ladungsträger" ("hot carriers") müssten dann extra Temperaturen eingeführt werden. In den Stromdichten tauchen dann evtl. Terme mit Temperaturgradienten auf.
  • Die Relaxationszeit-Näherung muss erfüllt sein. Das bedeutet, dass Wechselwirkungen innerhalb der Bänder viel wahrscheinlicher sind (in kürzeren Zeitabständen ablaufen) als Wechselwirkungen zwischen den Bändern. So können Elektronen und Löcher unabhängig voneinander in Quasi-Gleichgewichten sein.
  • Wenn es eine große Dichte von Defekten in der Bandlücke gibt... Ladungsträger können eingefangen werden, es gibt starke Rekombinationsprozesse.... kann diese Näherung verletzt werden. Das kann auch der Fall bei abrupten Übergängen zwischen zwei verschiedenen Halbleitern (Heteroübergängen) sein.
  • Elektronen- und Lochzustände sollen durch ihren Wellenvektor k beschrieben werden können.
  • Wenn das Material nicht kristallin ist, funktioniert die Wellenbeschreibung nicht mehr so gut: eine feste Dispersionsrelation E(k) gibt es dann nicht mehr. Ein Banddiagramm mit energieabhängigen Zustandsdichten und Besetzungswahrscheinlichkeiten kann aber meistens trotzdem erstellt werden.
  • Für amorphe Materialein können analoge Gleichungen für die Stromdichten angesetzt werden wie bei kristallinen Materialien. Dann allerdings nur mit empirischen Werten für die Beweglichkeiten.
  • Auf Born und Oppenheimer geht die Näherung zurück, die Lösung der Schrödingergleichung zur Beschreibung von Festkörpern in zwei Bereiche aufzuteilen. Die Eigenschaften der Atomkerne zusammen mit den inneren Elektronen beschreiben wir mit Hilfe von Phononen, den Rest durch Elektronen. Diese äußeren Elektronen werden als einzelne, unabhängige Teilchen aufgefasst und "sehen ein effektives Potential", das durch die restlichen Bestandteile des Festkörpers verursacht wird.
  • Manchmal kann es aber auch nicht möglich sein, die Lösung der Schrödingergleichung in ein Problem für die Phononen und eines für die Elektronen aufzuteilen. Es kann z.B. "Phonon-Elektron-Wechselwirkungen" geben, die für Lösungen der Gesamt-Schrödingergleichung stehen. Diese Lösungen werden mit Objekten beschrieben, die als Polaronen bezeichnet werden. Elektron-Elektron-Wechselwirkungen erzeugen Lösungen der Schrödingergleichung, die Exzitonen genannt werden. Diese Mehrteilchenzustände werden durch unsere bisherigen Modelle nicht mit erfasst. (Mit der Bewegung eines Exzitons ist auch kein Ladungstransport verbunden.)
  • Bei der angegebenen Herleitung der Drift-Diffusions-Gleichungen wurde angenommen, dass der Halbleiter nicht degeneriert ist / die Boltzmann-Näherung für die Fermi-Dirac-Verteilungen verwendet werden darf.
  • Eine homogene Zusammensetzung des Halbleiters wurde als Spezialfall angenommen, um die Anteile der Stromdichten durch die Gradienten der Elektronenaffinität, Bandlücke und effektive Zustandsdichten zu vernachlässigen.
  • Mit Hilfe von Temperaturgradienten oder Magnetfeldern könnten auch noch Anteile der Stromdichten erzeugt werden, die nicht in den obigen Gleichungen enthalten sind.
  • Weitere Stromleitungsmechanismen wie das Tunneln oder das Hopping von Ladungsträgern sollten nicht auftreten oder vernachlässigbar sein.
  • (Wem noch weitere Einschränkungen einfallen, bitte hier aufschreiben...)


Generationsströme


  • In einer unbeleuchteten Solarzelle fließt kein Strom (außer es wird z.B. von außen eine Spannung angelegt), da die Quasi-Ferminiveaus überall in der Solarzelle den gleichen Wert haben.
  • Bei Beleuchtung müssen irgendwie Gradienten der Quasi-Ferminiveaus entstehen, da die Solarzelle dann ja eine Stromquelle ist.
  • Bei Beleuchtung werden die Konzentrationen der freien Ladungsträger verändert, da zusätzliche Elektron-Loch-Paare generiert werden.
  • Wie wirkt sich diese zusätzliche Generation auf die Gleichungen der Stromdichten aus?
  • Erzeugen Vergrößerungen Δn und Δp gegenläufige Effekte bei den Stromdichten j_n und j_p, oder bleibt tatsächlich ein Nettostrom übrig?

  • Betrachten wir z.B. einen Halbleiter, in dem lokal zusätzliche freie Elektronen und Löcher generiert werden.
  • Wenn wir znächst annehmen, dass sich die Festkörperumgebung auf die zusätzlich generierten freien Elektronen und Löcher völlig gleich auswirkt...(das möchten wir eigentlich unbedingt vermeiden).
  • Elektronen und Löcher würden dann (quasi paarweise) durch die Gegend wandern (um die lokalen Konzentrationen auszugleichen) und im Mittel nach ihrer Lebensdauer irgendwo wieder miteinander rekombinieren.
  • Mit der Bewegung der Löcher wäre eine Stromdichte verbunden und mit der Bewegung der Elektronen auch, wobei die Gesamtstromdichte genau null wäre.
  • Die wandernten Elektron-Loch-Paare wären neutrale "Quasi-Teilchen", mit denen wir keinen elektrischen Nettostrom erzeugen könnten.

  • Für die Solarzelle müssen wir also irgendwelche Unterschiede im Verhalten der Elektronen und Löcher ausnutzen.
  • Wir möchten die paarweise erzeugten Ladungsträger voneinander trennen und in unterschiedliche Richtungen zum jeweils gewünschten elektrischen Kontakt führen.
  • Was geschieht also mit den überschüssigen "Ladungsträger-Paaren" in einer Solarzelle tatsächlich?

  • Wir möchten eine Stromquelle herstellen... dazu können wir an den Verläufen der Materialparameter E_g, χ_n, N_c, N_v, Φ herumspielen... welche Verläufe sind prinzipiell geeignet?
  • Um diese Fragen zu beantworten schreiben wir zunächst die Gleichung für die Gestamt-Stromdichte noch einmal neu auf:



  • Hierzu wurden folgende Abkürzungen eingeführt:



  • Die Stromdichte ohne Beleuchtung ist null: j* = 0.
  • Die zusätzliche Stromdichte durch die Überschussladungsträgerdichten Δn und Δp bei Beleuchtung ist:



  • Die Größen E_n und E_p können als "effektive elektrische Felder" interpretiert werden, die Ströme treiben.
  • Sie hängen (näherungsweise) nicht von der Beleuchtung ab.
  • Wenn die rechte Seite der obigen Gleichung zur Stromdichte beitragen soll, müssen diese effektiven Felder also auch schon vor der Beleuchtung in der Solarzelle vorhanden sein. So ein Feld wird dann oft als "build-in field" bezeichnet.

  • Beim linken Teil der Gleichung möchten wir vermeiden, dass sich die Beiträge durch Δn und Δp gegenseitig aufheben.
  • Dazu sollten die Diffusionskonstanten möglichst verschieden sein, oder es sollte möglichst große Unterschiede bei den Gradienten der Überschussladungsträger geben.
  • Die Absolutwerte der Überschusskonzentrationen scheinen für diesen Anteil der Stromdichte nicht wichtig zu sein.
  • Die Diffusionskonstanten (bzw. die Beweglichkeiten) von Elektronen und Löchern sind tatsächlich verschieden. Wenn dieser Unterschied wichtig wird, spricht man auch vom sogenannten "Dember-Effekt".
  • In kristallinen Materialien ist der Unterschied allerdings nicht groß genug, um ihn effektiv für die Photovoltaik auszunutzen. In molekularen Materialien kann der Dember-Effekt an Bedeutung gewinnen.

  • Größere Diffusionsströme können dagegen mit Hilfe von Membranen / selektiven Senken erzielt werden.
  • Mit "Membran" ist ein Mechanismus gemeint, der selektiv Elektronen oder Löcher entfernen kann.
  • Wenn so ein ein Mechanismus wirkt, werden Unterschiede in den Gradienten der Überschussladungsträger erzeugt.
  • Ein elektrischer Kontakt, der für Elektronen einen viel geringeren Widerstand als für Löcher bietet, wirkt z.B. als Elektronensenke:
  • Er fischt sich bevorzugt Elektronen aus einem Bereich heraus.
  • Dadurch entsteht in der Nähe des Kontakts ein Gradient in der Elektronen-Überschuss-Konzentration, der wiederum einen Strom treibt.
  • Als Elektronensenke könnte auch ein benachbarter Halbleiterbereich wirken, in dem es eine "Potentialrutsche" / ein elektrisches Feld gibt, das die "Elektronen absaugt".
  • Die Konzentrationsverteilung der generierten Löcher bleibt durch eine ideale Elektronen-Membran unverändert, so dass nur die Elektronen zur Stromdichte beitragen (Rekombinationseffekte / das Massenwirkungsgesetz mal vernachlässigt).
  • Wird an anderer Stelle noch eine zweite Membran für die Löcher angebracht, kann die Gesamt-Stromdichte verstärkt werden, da dann der linke Teil der Gleichung noch weiter anwächst.

  • Wenn der Weg, den Ladungsträger innerhalb der Lebensdauer durch Diffusion zurücklegen können (Diffusionslänge) gering ist, nützen auch starke Konzentrationsgradienten nichts. Die generierten Ladungsträger würden zwar angetrieben werden, könnten innerhalb ihrer Lebensdauer aber nicht die Membranen an den Rändern des Bereiches erreichen.
  • Es könnte auch sein, dass es in einem Bereich keine unterschiedlichen Gradienten der Überschuss-Ladungsträger-Konzentrationen gibt.
  • Dann bleibt als Alternative oder Unterstützung der Einbau von Feldern. Damit können die paarweise generierten Ladungsträger in einem Bereich auch voneinander getrennt werden.
  • Am besten wäre natürlich, beide Effekte auszunützen, also sowohl Membranen neben einem betrachteten Bereich als auch effektive elektrische Felder im Bereich zu konstruieren.
  • Je nach Art des Materials (amorphes Silizium besitzt z.B. kurze Diffusionslängen) könnte ein "build-in field" für einen effizienten Transport zwingend nötig werden.
  • Anstatt der ausgedehnten effektiven "build-in fields" werden in manchen Situationen aber Membranen für das Trennen und Einsammeln der paarweise generierten Ladungsträger viel zweckmäßiger sein.
  • Jedenfalls sollten wir versuchen zu vermeiden, Bereiche im Halbleiter herzustellen, in denen es weder Unterschiede in den Konzentrationsgradienten noch ein "build-in field" gibt:
  • Bereiche, in denen die Quasi-Ferminiveaus unter Beleuchtung waagrecht verlaufen, bringen uns keine Stromdichten ein.

  • Aber wie können wir so ein "build-in field" überhaupt erzeugen?
  • In Abb. 10.4 werden links oben die Banddiagramme zweier Halbleiter mit unterschiedlichem Energieabstand Φ zwischen Vakuumenergie E_vac und Ferminiveau E_F dargestellt.


2xAustrittsarbeit.png
Abb. 10.4: Bandverbiegung aufgrund zweier unterschiedlicher Austrittsarbeiten.

  • Da die beiden Festkörper noch nicht zusammengefügt sind, sind ihre Fermienergien E_F unabhängig voneinander.
  • Rechts oben ist ein gemeinsames Ferminiveau eingezeichnet, das gleich als "Richtschnur" dienen soll.
  • Um eine Skizze des zusammengefügten Banddiagramms zu erstellen, können die alten Banddiagramme an dieser Richtschnur oder "Wäscheleine" aufgehängt werden.
  • Im Übergangsbereich lässt man zunächst etwas Platz übrig. Noch ist nicht klar, wie die Bänder dort verlaufen (Abb. 10.4 links unten).
  • Die Vakuumenergieen weren nun mit einer geschwungenen Linie verbunden... irgendwie so etwa sollte der Verlauf wohl aussehen...es geht momentan nur um eine Skizze.
  • Wir erwarten keinen Sprung in der Vakuumenergie. Ein Sprung würde bedeuten, dass ein Elektron außerhalb des Festkörpers plötzlich starke Kräfte vom Festkörper spüren könnte, wenn es sich ein Stück parallel zur Oberfläche bewegt. Erst gar keine Kraft, und dann "wuahh, da ist ein Festkörper" :). Also mit der "elegant geschwungenen Linie" werden wir schon nicht so falsch liegen.
  • Wenn wir davon ausgehen, dass die Elektronenaffinität χ_n und die Bandlücke E_g der beiden Halbleiter gleich groß sind, sollten sie diese Energieabstände im Übergangsbereich auch nicht ändern.
  • Dann verlaufen E_c und E_v parallel zu E_vac.
  • Durch einen Unterschied in der Austrittsarbeit Φ werden also beide Bänder verbogen (Abb. 10.4 rechts unten).
  • Da es einen Gradienten der Vakuumenergie E_vac gibt, muss es nun auch ein elektrisches Feld E im Halbleiter geben:



  • Wie weit sich dieses elektrische Feld von der Kontaktfläche der beiden Halbleiter in die benachbarten Volumina erstreckt, haben wir noch nicht geklärt.
  • In Abb. 10.5 werden drei Halbleiterbereiche mit verschiedenen Austrittsarbeiten Φ_n, Φ_i, Φ_p zusammengebastelt.
  • Es könnte sein, dass es zwei Bereiche mit elektrischen Feldern gibt (links unten), oder dass sich das elektrische Feld über den gesamten mittleren Bereich erstreckt (rechts unten).


3xAustrittsarbeit.png
Abb. 10.5: Bandverbiegung aufgrund dreier unterschiedlicher Austrittsarbeiten.

  • Für die Trennung der Ladungsträgerpaare wäre ein möglichst weit ausgedehntes Feld praktisch, da es dann viele Ladungsträger zu spüren bekommen würden, oder?
  • Auch wenn das Feld nur auf einen schmalen Bereich beschränkt sein sollte, hat es noch eine andere Bedeutung.
  • Für die elektrische Ausgangsleistung sind wie gesagt nicht nur Stromdichten, sondern auch Spannungen wichtig. Wenn es zwischen den beiden Kontakten der Solarzelle eine Spannung geben soll, muss nicht nur im äußeren Stromkreis sondern auch in der Solarzelle irgendwo ein elektrisches Feld vorhanden sein.
  • Die Spannung zwischen zwei Kontakten an den Stellen x_1 und x_2 können wir mit folgender Formel berechnen:



  • Ganz ohne elektrische Felder in der Solarzelle werden wir also wohl nicht auskommen.
  • Wie weit sich die Felder tatsächich ausdehnen, wie es sich mit Spannungen verhält und was praktisch ist, klären wir später.



  • Es ist so, dass der Energieabstand Φ zwischen Vakuumenergie E_vac und Ferminiveau E_F durch die Dotierung beeinflusst wird. In Abb. 10.5 steht Φ_n für die Austrittssarbeit eines n-Typ Halbleiters, Φ_i für die eines intrinsichen Halbleiters und Φ_p für die Austrittssarbeit eines p-Typ Halbleiters.
  • Das ist toll! Wir werden den Zusammenhang noch ausnützen.
  • Allerdings werden wir kaum zwei verschieden dotierte Halbleiter aufeinanderpressen und hoffen, dass bei der Grenzfläche alles gut läuft. Da würde es zu viele Probleme mit Staub, unebenen Oberflächen usw. geben.
  • Wenn man unterschiedlich dotierte Bereiche haben möchte, werden in der Praxis über die Oberfläche zusätzliche Dotieratome eingefügt.
  • Das Ausgangsmaterial ist meistens schon vordotiert. Im Bereich der Oberfläche wird die Basisdotierung dann überkompensiert.
  • So hat man z.B. eine 300 µm dicke, mit Bor dotierte Scheibe ("Basis"), die an den Oberflächen etwa 1 µm tief zusätzlich mit Phosphor dotiert ist ("Emitter").
  • Das Hinzufügen in die oberflächennahen Bereiche geschieht meist über einen Diffusionsprozess. Deshalb sind die in der Praxis erreichbaren Schichtdicken begrenzt.
  • Alternativ kann ein Bereich mit anderer Austrittsarbeit als zusätzliche Schicht auf ein Basis-Substrat aufgedampft, aufgewachsen,... werden.
  • Diese Halbleiterschicht könnte auch eine unterschiedliche Elektronenaffinität, Bandlücke, oder effektive Zustandsdichten aufweisen.
  • Gradienten in den Zustandsdichten könnte man im Banddiagramm der unbeleuchteten Solarzelle nicht ablesen (Abb. 10.6, links), Gradienten von χ_n oder E_g dagegen schon.
  • Gradienten in E_vac können nicht nur mittels Unterschiede der Austrittsarbeit durchs Dotieren oder unterschiedlicher Grundmaterialien erzeugt werden, sondern auch über lokale Ladungen in der Solarzelle.
  • Bei der Beschichtung mit Siliziumnitrid (dient unter anderem Als Antireflexbeschichtung) können z.B. dauerhaft geladene Oberflächen entstehen.



Abb. 10.6: Weitere Ursachen für "build-in fields".

  • Manchmal ist es auch interessant, von außen Spannungen an Solarzellen anzulegen. Das von außen aufgezwungene elektrische Feld sorgt dann auch für einen Gradienten von E_vac.
  • Der Gradient von E_vac wird sich über den Bereich zwischen den Kontakten aufteilen. Die Steigung wird wahrscheinlich nicht überall gleich sein. Bei einer Reihenschaltung von Widerständen fällt die meiste Spannung am größten Widerstand ab. Dort herrscht dann auch das größte elektrische Feld. Dementsprechend kann das elektrische Feld durch eine äußere Spannungsquelle in einer Solarzelle örtlich sehr begrenzt auftreten, wenn die Spannung hauptsächlich an einem schmalen Bereich mit großem Widerstand abfällt.

  • Der Schwerpunkt der weiteren Betrachtungen liegt auf kristallinen Silizium-Solarzellen.
  • Wir können durch das Dotieren und Metallisieren sowohl Membranen als auch "build-in fields" erzeugen.
  • Metall-Halbleiter-Übergänge und ihre Banddiagramme werden allerdings erst in einem extra Kapitel behandelt.


Drift versus Diffusion


  • Um den Zusammenhang zwischen Drift und Diffusion in Homo-Solarzellen etwas anschaulicher zu machen, kommt hier ein kleines Gedankenexperiment.
  • Angenommen, durch die zufällige Bewegung der freien Elektronen oben links in Abb. 10.6 entstehe kurzzeitig eine inhomogene Verteilung der Ladungsträger (Abb. 10.6, oben rechts).
  • Dann entsteht dadurch eine Ladungsverteilung, die ein elektrisches Feld erzeugt (Abb. 10.6, links unten).
  • Diese Ladungsverteilung ist dann sofort mit einer Bandverbiegung verbunden, die dazu führt, dass die Ladungsträger wieder homogen verteilt werden (Abb. 10.6, rechts unten).
  • Da die bewegten Teilchen (Elektronen und Löcher) Ladungen tragen, sind Drift und Diffusion in Solarzellen immer miteinander gekoppelt.



Abb. 10.6: Drift versus Diffusion.




Abschirmung


  • Wenn es in der Solarzlle eine lokale Ladung (z.B. an einer mit Siliziumnitrid beschichteten Oberfläche) gibt, werden sich die freien Ladungsträger im Vergleich zu einer neutralen Ausgangssituation umverteilen.
  • Durch diese Umverteilung kann die ursprüngliche Ladung für ein etwas weiter entferndes Elektron weniger groß erscheinen (Abb. 10.7).



Abb. 10.7: Abschirmung von Ladungen durch bewegliche Ladungsträger.

  • Wie gut Ladungen durch Umverteilungen abgeschirmt werden können, hängt von der Konzentration der freien Ladungsträger ab.
  • Da es in Metallen sehr viele freie Ladungsträger gibt, können inhomogene Ladungsverteilungen sehr gut (d. h. innerhalb kurzer Strecken) abgeschirmt werden.
  • Maße für die Strecke, innerhalb derer dieses "electric field screening" stattfindet, sind z.B. die Debye-Länge oder die Thomas-Fermi-Länge.
  • Die große Dichte an freien Ladungsträgern in Metallen ist also der Grund dafür, wieso Banddiagramme von Metallen meistenes sehr flach verlaufen.
  • In Bereichen der Solarzelle, in denen es nur wenige freie Ladungsträger gibt, können dagegen tendenziell größere Steigungen von E_vac, E_c und E_v auftreten.
  • Die Länge, die zur Abschirmung nötig ist, hängt von der Dotierung und der Beleuchtung des Halbleiters ab.
  • In hoch dotierten oder stark beleuchteten Halbleitern funktioniert die Unterstützung des Diffusions-Transportes durch den Einbau von effektiven Feldern daher tendenziell schlecher als bei niedriger dotierten Halbleitern.
  • Die Ladungsträger "sehen" wegen der guten Abschirmung geringere elektrische Felder als bei schlechter Abschirmung; die elektrischen Felder können weniger tief eindringen.
  • Dafür ist bei höher dotierten Halbleitern die elektrische Leitfähigkeit für Driftströme besser als bei niedriger dotierten Halbleitern...
  • Also wirkliche Aussagen über die "beste Dotierung" oder die Bedeutung der Diffusion im Vergleich zur Drift können wir momentan noch nicht treffen.
  • Um die Verteilung der Ladungsträger, die Bandverbiegungen, die Lage der Quasi-Ferminiveaus usw. quantitativ zu untersuchen, ist ein System von Differentialgleichungen nötig, das im nächsten Kapitel besprochen wird.

  • Drift und Diffusion wurden bisher "aus Richtung der Gradienten der Quasi-Fermienergien" betrachtet, also quasi als Sonderfälle eines allgemeineren Zusammenhangs.
  • In der Literatur wird oft umgekehrt vorgagangen: Drift und Diffusion werden zunächst als eigenständige Themen erarbeitet und danach vereint (die "effektiven Felder" fallen bei dieser Betrachtungsweise oft unter den Tisch).
  • Dieser alternative Zugang bietet noch einige interessante Zusatzinformationen. Aus didaktischen Gründen wird die Theorie des Ladungsträgertransports in Halbleitern daher noch einmal aus anderen Blickwinkeln heraus entwickelt.


Diffusion


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Drift


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