Teilchenkonzentrationen


.x Thermalisierung
.x Elektronenkonzentration
.x Löcherkonzentration
.x Massenwirkungsgesetz und Fermienergie
.x Intrinsische Konzentration freier Ladungsträger
.x Erweitertes Massenwirkungsgesetz
.x Intrinsische Energie
.x Metalle, Halbleiter und Isolatoren


Thermalisierung

  • Nun ist es bald so weit. Wir können mit unserer "Masterformel" Teilchenkonzentrationen (= Teilchenzahldichten) in Halbleitern berechnen.



  • Dies wollen wir getrennt für Elektronen im Leitungsband ("Teilchensorte A") und für Löcher im Valenzband ("Teilchensorte B") durchführen.
  • Dazu sollen einige Voraussetzungen erfüllt sein.
  • Der Festkörper könnte sich in einem Nicht-Gleichgewichtszustand befinden. Er wurde z.B. durch ein Blitzlicht beleuchtet oder Röntgenstrahlung ausgesetzt. Viele Elektronen wurden dadurch irgendwie angeregt.
  • Einige Elektronen können danach eine Energie besitzen, die weit oberhalb der Leitungsbandkante liegt.
  • Nun wechselwirken die Elektronen innerhalb etwa 10^(-12) s durch Stöße untereinander und mit dem Kristallgitter. Die Fenergie wird minimiert und die Elektronen wechseln auf günstigere Plätze in Bezug auf Energie und Unordung.
  • Die meisten freien Ladungsträger werden sich danach nicht mehr so weit von den Bandkanten entfernt befinden wie vorher.
  • Diesen Prozess der Umordnung nennen wir Thermalisierung. Danach liegen zwei (zunächst voneinander unabhängige) Gleichgewichte vor.
  • Es gibt ein Gleichgwicht für die Elektronen im Leitungsband und ein anderes Gleichgewicht für die Löcher im Valenzband. Die Besetzung von Energiezuständen in den beiden Bändern wird durch eine jeweilige Fermi-Dirac-Verteilung beschrieben. (Fermi-Dirac-Verteilungen dürfen wir nur verwenden, wenn Gleichgewichte vorliegen.)
  • Es könnte auch sein, dass der Festkörper ständig beleuchtet oder anderweitig gestört wird. Wenn sich die äußere Störung langsamer verändert als die 10^(-12) s, können wir zumindest von Quasi-Gleichgewichten ausgehen.
  • Unsere Grundannahme für dieses Kaptiel ist, dass es zwei "Teilchensorten" A und B gibt, die sich in Quasi-Gleichgewichten mit jeweiligen Quasi-Fermienergien E_(F, n) und E_(F, p) befinden.
  • Bis sich diese beiden "Ausgangs-Gleichgewichte" einstellen, haben wir leider nicht genug Zeit, um die durch Absorption aufgenommene Energie der Ladungsträger auszunutzen. Die Energie, die bei der energetischen Umverteilung der Elektronen und Löcher in Wärme umgewandelt wird, geht für uns verloren ("Thermalisierungsverluste").
  • Innerhalb eines viel längeren Zeitraums (> 10^(-9) s) wird es Reaktionen zwischen den beiden Teilchensorten geben, bis auch zwischen ihnen ein Gleichgewicht vorliegt. Dieses Gleichgewicht wird dann durch eine gemeinsame Fermi-Dirac-Verteilung beschrieben, deren charakteristische Energie E_F wir als Fermienergie bezeichnen. (Also dann quasi ohne "Quasi" ;-) ).
  • Beim Betrieb einer Solarzelle möchten wir dieses Gleichgewicht nicht erreichen. Es soll ständig ein Ungleichgewicht zwischen Elektronen im Leitungsband und Löchern im Valenzband geben. Mit Hilfe des Bestrebens der freien Ladungsträger, das Gleichgewicht untereinander herzustellen, wollen wir ja schließlich einen Stromkreis antreiben.
  • Uns interessiert das Verhalten der thermalisierten Elektronen im Leitungsband und der thermaliserten Löcher im Valenzband.



Elektronenkonzentration


  • Für die Elektronen im Leitungsband nähern wir die Dispersionsrelation (die Bandstruktur) mit einem einzigen quadratischen Dispersionszweig an:



  • Daraus ergibt sich eine wurzelförmige Zustandsdichte D(E) im Leitungsband:



  • Für die Besetzungswahrscheinlichkeit im Leitungsband können wir nach der Thermalisierung eine Fermi-Dirac-Verteilung annehmen:



  • Die Energie des Leitungsbands ("der oberen Pinnwand") läuft von E_unten = E_c bis E_oben.
  • Und welche Energie wählen wir für E_oben? Die Fermi-Dirac-Verteilung fällt recht schnell ab (siehe auch Applet 7.1) und die meisten Elektronen befinden sich nach der Thermalisierung in der Nähe der Leitungsbandkante. Es sollte deshalb keinen großen Unterschied machen, bis zu welcher Energie E_oben wir integrieren, so lange diese nur groß genug ist. Wenn wir bis unendlich integrieren, können wir das Integral leichter lösen. (Eine Abschätzung der Abweichung fehlt hier noch. Hat wer Lust dazu?)
  • Durch den starken Abfall der Besetzungswahrscheinlichkeit braucht uns auch nicht zu stören, dass die wurzelförmige Näherung für die Zustandsdichte bei großen Energien wahrscheinlich nicht mehr all zu gut ist.
  • Für die Teilchenkonzentration n der Elektronen im Leitungsband müssen wir nach unseren bisherigen Näherungen folgendes Integral berechnen:



  • Dazu benötigen wir die effektive Masse der Elektronen im Leitungsband und ihre Quasi-Fermienergie (= totales chemisches Potential der Elektronen im Leitungsband).
  • Die effektive Masse für die Zustandsdichte, "Zustandsdichtemasse", lässt sich mit Hilfe von Zyklotronresonanz-Experimenten bestimmen.
  • Die Quasi-Fermienergie können wir etwas später für einen Spezialfall berechnen.
  • Um nicht nur einen Spezialfall zu untersuchen, benötigen wir zur Bestimmung von E_(F, n) noch weitere Gleichungen. Es wird später ein System von Gleichungen geben, das die Bestimmung aller unbekannten Variablen erlaubt.
  • Und wenn umgekehrt die Konzentration n schon durch Experimente bekannt ist? Bei bekanntem n kann uns das Integral die Quasi-Fermienergie liefern.
  • Um das Integral analytisch lösen zu können, nähern wir die Fermi-Dirac-Verteilung durch eine Exponentialfunktion an, die sich an die Verteilung anschmiegt (siehe auch Applet 2.1). Dies dürfen wir unter der Voraussetzung E - E_(F, n) >> kT tun, welche oft erfüllt ist.
  • Diese Näherung wird manchmal als Boltzmann-Näherung bezeichnet. Man kann auch sagen, dass die Teilchen als Teilchen eines "klassischen Gases" beschrieben werden, im Gegensatz zu Teilchen eines "Fermigases". Oder man spricht davon, dass der Halbleiter nicht entartet ist. Auf dieser Näherung beruhen viele Formeln in der Solarzellenphysik.
  • Ist diese Näherung nicht erfüllt, gilt z.B. das Massenwirkungsgesetz in der gebräuchlichen Form nicht mehr. Aber dazu später mehr.
  • Wir gehen davon aus, dass die Näherung erfüllt ist:





  • Wir verwenden die Substitution



  • Damit wird aus dem Integral:



  • Da wir für die obere Integrationsgrenze unentlich gewählt haben, können wir den verbliebenen Integralausdruck in einer Integraltabelle oder einem Mathematikbuch nachschlagen; er hat den Wert sqrt(π)/2:



  • Da die Teilchenkonzentration meistens bei konstanter Temperatur betrachtet wird, führen wir für den Vorfaktor der Exponentialfunktion eine Abkürzung ein:



  • Hinweis: Von den verschiedenen Schreibweisen in der Literatur ( ħ = h / 2π ) nicht verwirren lassen und im Hinterkopf behalten, dass N_c von der Temperatur abhängt.
  • Der Term N_c wird häufig als "effektive Zustandsdichte" des Leitungsbands bezeichnet und hat bei T = 300 K einen Wert von etwa



  • Zum Begriff der "effektiven Zustandsdichte":
  • N_c ist keine Anzahl und auch keine Anzahl pro Volumen und pro Energie, sondern eine Anzahl pro Volumen (Volumendichte): [N_c] = 1/cm^3.
  • Unter Zustandsdichten D(E) verstehen wir hier eigentlich Größen mit der Einheit 1/(cm^3 J), also Anzahl pro Volumen und pro Energie. In dem Sinne ist der Begriff "effektive Zustandsdichte" etwas unglücklich gewählt. Da er in der Literatur üblich ist und auf andere Weise Sinn macht, bleiben wir aber dabei.
  • Die Dichte dn der Elektronen in einem schmalen Energiebereich [E, E + dE] hatten wir als Produkt aus Zustandsdichte D(E) in diesem Bereich, der Breite dE des Bereichs und der Besetzungswahrscheinlichkeit f(E) berechnet: dn = D(E) dE f(E) . Die Teilchenkonzentration n ergab sich als Integral.
  • Die "effektive Zustandsdichte" N_c des Leitungsbands können wir als eine effektive Volumendichte D(E_c) dE von Zuständen auffassen, die bei der Bandkante vorliegt.
  • Das Resultat des Integrals können wir dann so lesen: Durch Multiplikation einer effektiven Volumendichte verfügbarer Zustände bei E_c mit der Besetzungswahrscheinlichkeit f(E_c) erhalten wir die die Konzentration n der besetzten Zustände im Leitungsband.

  • Das Resultat für die Konzentration n der Elektronen im Leitungsband können wir auch so interpretierten: Der Abstand E_c - E_(F, n) zwischen Leitungsbandkante und Quasi-Fermienergie, bzw. die Quasi-Fermienergie E_(F, n) selbst, ist eine Art "Füllstandsanzeiger fürs Leitungsband".
  • Je geringer der Abstand ist, desto mehr Elektronen befinden sich im Leitungsband (Abb. 7.1). Ist umgekehrt das totale chemische Potential E_(F, n) der Elektronen weit vom Leitungsband entfernt, gibt es nur wenige Elektronen im Leitungsband.

  • In der Literatur wird das Resultat des Integrals manchmal verwendet, um die Quasi-Fermienergie zu definieren. Sie wird dann als eine Art "Umschreibung" der Elektronenkonzentration betrachtet: Großes n bedeutet energetisch hoch gelegenes E_(F, n), kleineres n bedeutet niedriger gelegenes E_(F, n):



  • Dies ist der Zusammenhang zwischen dem totalem chemischen Potential µ_(tot, n) = E_(F, n) und der Konzentration n der Elektronen im Leitungsband, der im Kapitel "Heidi's Kreis" schon angesprochen wurde.

Füllstand.png
Abb. 7.1: Quasi-Fermienergie der Elektronen im Leitungsband als Füllstandsanzeiger.

  • Je größer die Konzentration der Elektronen im Leitungsband ist, desto größer ist das totale chemische Potential (= mittlere Änderung der Fenergie (="Freien Enthalpie") mit der Teilchenzahl N_n der Elektronen im Leitungsband):



  • Der Zusammenhang ist nicht linear, sondern logarithmisch: Bei niedrigen Werten von n wirkt sich eine Änderung Δn stärker auf die Quasi-Fermienergie der Elektronen aus, als bei größeren Werten von n.
  • Wenn wir für n null einsetzen würden, käme -∞ für µ_tot heraus. => Das kann doch irgendwie nicht sein!? Dazu einige Bemerkungen:
  • Bei den Herleitungen sind wir von großen Teilchenzahlen ausgegangen. Deshalb müssen wir bei geringen Teilchenzahlen vorsichtig sein.
  • Es gibt neben der letzten Gleichung noch weitere Gleichungen, die wir erfüllen müssen, um eine realitätsnahe ("erlaubte") Beschreibung des Festkörpers zu erhalten. Anders ausgedrückt: Wir dürfen an n nicht beliebig herumspielen, sondern müssen auch noch die anderen "Schrauben" des Systems beachten.
  • Wenn es eine Teilchensorte nicht gibt (im Leitungsband keine Elektronen vorhanden sind), macht ein Konzept zur Beschreibung dieser Teilchen ( = ihre Quasi-Fermienergie) nicht viel Sinn.
  • Den Rest der Elektronen im Festkörper, die sich nicht im Leitungsband befinden, zählen wir nicht zur Teilchensorte A.

  • Wenn n größer als N_c wäre, läge E_(F, n) nach der obigen Formel oberhalb der Leitungsbandkante E_c:



  • Bei der Herleitung sind wir allerdings davon ausgegangen, dass wir die Fermi-Dirac-Verteilung durch eine Exponentialfunktion annähern können. Deshalb müssen wir vorsichtig sein, wenn die Quasi-Fermienergie in die Nähe der Leitungsbandkante kommt. Die Energie E_c ist auch nicht immer konstant. Fürs erste betrachten wir nur Fälle, in denen unsere Näherungsbedingungen erfüllt sind. Das Applet 7.1 wurde auch mit Hilfe der Näherungen erstellt. Den Werten, bei denen die Quasi-Fermienergien in der Nähe der Bandkanten liegen (oder diese sogar überschreiten), dürfen wir also nicht vertrauen.
  • Wenn eine Quasi-Fermienergie nur einen geringen Abstand ∆E von einer Bandkante hat (oder sogar innerhalb eines Bandes liegt), wird der Halbleiter als entartet ("degenerate semiconductor") bezeichnet. Die Anzahl der freien Elektronen in einem entarteten Halbleiter ähnelt der eines Metalls. (Eselsbrücke: Die "Art" des Materials hat sich verändert: das Material ist "entartet", ist quasi nun ein Metall statt ein Halbleiter.)
  • Eine gebräuchliche Definition entarteter Halbleitern ist: ∆E < 3 k T.
  • E = 3 k T würde einer Elektronenkonzentration von 5 % von N_c entsprechen. Wenn solch hohe Werte wie 1.4 x 10^18 1/cm^3 für n auftreten, müssen wir also schon vorsichtig werden.
  • Um Teilchenkonzentrationen im entarteten Fall zu beschreiben, kann z.B. die Näherung von Joyce und Dixon verwendet werden (siehe auch [W1.1] und [W2.1]).

  • In Abb. 7.1 wurde die Quasi-Fermienergie der Elektonen im Leitungsband "einfach mal so" innerhalb der Bandlücke eingezeichnet. Wieso sie bei "intrinsichen Halbleitern" etwa in der Mitte liegt, wird sich weiter unten bei der (zweiten) Herleitung des Massenwirkungsgesetzes ergeben.

  • In Applet 7.1 können die Quasi-Fermienergien als Füllstandsanzeiger des Leitungs- und des Valenzbands per Hand verschoben werden. Dabei ändern sich entsprechend die Elektronen- und Löcherkonzentrationen.


Löcherkonzentration


  • Bei der Berechnung der Löcherkonzentration gehen wir sehr ähnlich vor. Die Dispersionsrelation unterhalb der Energielücke wird angenährt durch:



  • Die Zustandsdichte wird beschrieben durch:



  • Die Wahrscheinlichkeit f_p dafür, dass ein Platz im Valenzband mit einem Loch "besetzt" ist, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass ein Platz im Valenzband nicht mit einem Elektron besetzt ist: f_p = 1 - f. Die Quasi-Fermienergie der Löcher im Valenzband bezeichenen wir als E_(F, p). Daher schreiben wir für die Besetzungswahrscheinlichkeit der Löcher:



  • Als Energiegrenzen für unsere "untere Pinnwand" nehmen wir E_unten = -∞ und E_oben = E_v
  • Für die Teilchenkonzentration p der Löcher im Valenzband gilt es also folgendes Integral zu berechnen:



  • Die Besetzungwahrscheinlichkeit nähern wir wieder mit einer Exponentialfunktion an, diesmal mit der Bedingung E_(F, p) - E >> kT:



  • Und verwenden die Substitution



  • Damit sieht das Integral dann so aus:



  • Für die Dichte p der Löcher im Valenzband erhalten wir schließlich:



  • Je Geringer der Abstand zwischen der Quasi-Fermienergie der Löcher und dem Valenzband ist, desto mehr Löcher gibt es im Valenzband.
  • Und umgekehrt: Je größer die Löcherkonzentration ist, desto energetisch niedriger liegt das elektrochemische Potential E_(F, p) der Löcher:




Füllstand2.png
Abb. 7.2: Quasi-Fermienergie der Löcher im Valenzband als Füllstandsanzeiger.

  • Zur Lösung des Integrals für die Teilchenkonzentrationen wurde die Fermi-Dirac-Verteilung durch eine Exponentialfunktion angenähert. Eine etwas genauere Lösung kann mit Hilfe des tabellierten "Fermi-Dirac-Integrals" erzielt werden (Ein passendes Programm für Matlab oder Scilab gibt es z.B. hier.)
  • Noch exaktere Zahlenwerte würden schließlich numerische Berechnungen ergeben, die anstatt der wurzelförmigen Näherungen experimentell bestimmte Werte für die Zustandsdichten verwenden.
  • Die analytische Lösung sollte aber für viele Anwendungen schon ausreichen.

  • In Applet 7.1 werden die Zusammenhänge grafisch veranschaulicht. Dazu werden die Funktionen dn / dE und dp / dE mit eingezeichnet. Die Flächen darunter entsprechen den jeweiligen Teilchenkonzentrationen.


Download: . Ähnliches gibt es z.B. hier, hier und hier.

Applet 7.1: Elektronen- und Löcherkonzentrationen.

  • Im dritten und vierten Graf des Applets werden Fermi-Dirac-Verteilungen zum Zeichnen verwendet. Die Berechnungen erfolgen aber mit den oben genannten Näherungen.
  • Beim Betrachten der Zusammenhänge können mit Hilfe der Check-Buttons drei Sonderfälle durchgespielt werden: I. E_(F, p) = E_(F, n), II. p = n, III. E_(F, p) = E_(F, n) und p = n.
  • Bei Eingaben der Konzentrationen werden die Quasi-Fermienergien angepasst. Neue Werte für effektive Zustandsdichten werden in neue effektive Massen umgerechnet. Die Skalierungen der Achsen können auch angepasst werden.




Massenwirkungsgesetz und Fermienergie


  • Im Kapitel Heidi's Kreis wurde bereits gesagt, dass wir das Massenwirkungsgesetz noch einmal mit Hilfe der Fenergie-Minimierung ableiten werden.
  • Da wir gerade den Zusammenhang zwischen der "Ableitung der Fenergie nach der Teilchenzahl" (= Quasi-Fermienergie = totales chemisches Potential = elektrochemisches Potential) und der Teilchenkonzentration hergleitet haben, sind wir nun dazu in der Lage.
  • Es wurde auch versprochen zu zeigen, dass das Produkt der Konzentrationen bei Beleuchtung exponentiell mit der gespeicherten Energie in der Kammer zunimmt.
  • Für das Produkt der Konzentrationen der Elektronen im Leitungsband und der Löcher im Valenzband folgt mit den obigen Formeln:



  • Wenn das Massenwirkungsgesetz gilt, sollte das Produkt n p im chemischen Gleichgewicht nur noch von der Temperatur abhängen. Anders ausgedrückt: Wenn wir zeigen können, dass die rechte Seite der Gleichung im chemischen Gleichgewicht konstant ist, haben wir das Massenwirkungsgesetz abgeleitet.
  • Der Ausdruck E_c - E_v entspricht der Energielücke (= "Bandlücke", "Bandgab") E_g zwischen Leitungsband und Valenzband. Die Bandlücke ist hauptsächlich materialabhängig und kann in erster Näherung als konstant angenommen werden.
  • Etwas genauer betrachtet hängt E_g von der Temperatur, der Konzentration freier Ladungsträger usw. ab.
  • Wie steht es um die Konstantheit des zweiten Exponentialfaktors in der Formel?

  • Wenn wir eine Teilchensorte (z.B. Elektronen oder Löcher) in zwei isolierte, miteinander verbundene "Kammern" geben und etwas warten, sorgt die Minimierung der Fenergie dafür, dass sich die beiden Quasi-Fermienergien in den Teilkammern angleichen: Das wurde hier gezeigt.
  • Wir können auch eine einzelne "Kammer" gedanklich in zwei Hälften oder beliebig viele Teilkammern aufteilen. Die Teilchen werden so lange umverteilt, bis das mittlere totale chemische Potential überall in der Kammer gleich ist. Die Fenergie nimmt dann ein Minimum an und es liegt ein Gleichgewicht im Bezug auf die Teilchenkonzentration und den Orten der Teilchen vor.

  • Nun betrachten wir nicht den Übergang von einer örtlichen Kammer in eine andere, sondern den Übergang eines Elektrons von der "Valenzbandkammer" in die "Leitungsbandkammer". (Wir betrachten bei dieser Beschreibung ausnahmsweise mal wieder die Elektronen im Valenzband statt der Löcher im Valenzband.)
  • Die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Lochs im Valenzband plus die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Valenzband ergibt 1. Energetisch sind die beiden Wahrscheinlichkeitsverteilungen des Valenzbands auf der gleichen "Höhe".
  • Deshalb ist die Quasi-Fermienergie eines Elektrons im Valenzband gleich der eines Lochs im Valenzband.
  • Vor dem Übergang ist das elektrochemische Potential des Elektrons µ_1 = E_(F, p), nach dem Übergang µ_2 = E_(F, n).
  • Umgekehrt können Elektronen auch vom Leitungsband ins Valenzband überghen. Die Betrachtung des Gleichgewichts läuft ähnlich wie bei der Überlegung mit den örtlichen Kammern.
  • Die Gesamtanzahl der Elektronen bleibt erhalten: N_n + N_p = const. => ΔN_n = -ΔN_p.
  • Für die Änderung dF der Fenergie durch Änderungen der Teilchenzahlen N_n im Leitungsband und N_p im Valenzband gilt im Gleichgewicht:



  • Wir haben dann eine einzige, gemeinsame Fermi-Dirac-Verteilung für die Elektronen im Leitungsband und die Elektronen im Valenzband mit der Fermienergie E_F.
  • Setzen wir dieses Ergebnis für das Gleichgewicht in den zweiten Exponentialfaktor ein, wird dieser zu 1 und wir erhalten:



  • Damit haben wir das Massenwirkungsgesetz abgeleitet.
  • Es gilt für den Sonderfall, dass die Kammer nicht von der Sonne beleuchtet wird oder wir auf eine andere Art die Energie-Isolierung der Kammer stören. Wenn die Solarzelle in einer dunklen Schublade liegt, darf sie z.B. an die Wände der Schublade nur so viel Wärmestrahlung abgeben, wie sie auch wieder zurück bekommt.
  • Vorausssetzung ist auch, dass der Halbleiter nicht entartet ist, also dass die Fermieenergie schön brav innerhalb der Bandlücke liegt.

  • Die Begriffe "Ferminiveau" und "Fermienergie" werden oft (wie hier) als Synonym, manchmal aber auch mit leicht unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. In [W1.1] wird z.B. das Ferminiveau mit dem elektrochemischen Potential gleichgesetzt und der Begriff "Fermienergie" nur für den Grenzfall T => 0 oder für Metalle verwendet. Die Fermienergie ist quantenmechanisch gesehen die Energie des energetisch höchstgelegenen, noch besetzten Quantenzustands eines Systems aus Fermionen am absoluten Temperaturnullpunkt. Folgt man dieser Definiton, ist es nicht die Fermienergie, sondern das chemische Potential, das in der Fermi-Dirac-Verteilung auftaucht.
  • Diese Unterscheidung wird hier nicht gemacht. Die "Fermienergie" wird als Parameter der Fermi-Dirac-Verteilung betrachtet und als elektrochemisches Potential.


Intrinsische Konzentration freier Ladungsträger


  • Wenn zusätzlich die Konzentrationen der Elektronen im Leitungsband und der Löcher im Valenzband gleich sind (Sonderfall III): n = p = n_i = p_i, gilt:



  • Die Größe n_i = p_i wird als intrinsische Konzentration der freien Ladungsträger bezeichnet.
  • Das Wort "intrinsisch" bedeutet so viel wie "von innen her kommend".
  • Die Anzahl der Elektronen im Leitungsband und die Anzahl der Löcher im Valenzband sind in einem intrinsischen Halbleiter gleich groß, da:
  • I. In einem intrinsischen ("reinen, perfekten") Kristall gibt es zwischen Valenz- und Leitungsband keine verfügbaren Plätze, auf denen sich Elektronen aufhalten könnten.
  • II. Wir davon ausgehen, dass einzelne Elektronen oder Löcher den Halbleiter nicht verlassen.
  • Die intrinsichen Konzentrationen n_i = p_i der freien Ladungsträger sind charakteristisch fürs reine, ungestörte Material (ohne Zusatzstoffe wie Phosphor oder Kristallbaufehler).
  • Der Wert von n_i hängt stark von der Bandlücke E_g ab. Ändert sich diese um ∆E_g, ergibt sich eine neue intrinsiche Konzentration (n_i)' von:



  • In der Literatur wurde früher oft ein Wert von n_i = 1,45 x 10^10 1/cm^3 bei einer Temperatur von T = 300 K verwendet.
  • Heute wird für Berechnungen meistens der 19... von ... bestimmte Wert benutzt:



  • Im Jahr .... wurde aber ein Wert von ... gemessen. In einer Veröffentlichung aus dem Jahr 1999 wurde dann gezeigt, dass die früheren Messungen durch eine Veränderung des Bandabstands durch Fremdsoffe im Kristall (hohe Dotierung) beeinflusst wurden.
  • In Modellen, die die Verkleinerung der Bandlücke ("Bandgabnarrowing", BGN) berücksichtigen, sollte der Wert n_i = 9,65 x 10^9 1/cm^3 für die intrinsiche Konzentration verwendet werden.
  • Für einfache Modelle genügt der alte n_i - Wert, der genau genommen einem effektiven Wert (n_i)' entspricht.
  • korrigiert werden [Altermatt, P.P. ; Schenk, A. ; Heiser, G. ; Green, M.A.: . In: Tech. Digest of the 11th Int. Science and Eng. Conf. (PVSEC-11). Sapporo, Japan, 1999, S. 719].
  • Möchte man Ergebnisse von Experimenten mit (älteren) Veröffentlichungen vergleichen, sind evtl. Korrekturfaktoren nötig, da sich (n_i)^2 manchmal direkt proportional auf Ergebnisse auswirkt.
  • Für den Sonderfall III ( E_(F, n) = E_(F, p) und n = p = n_i) lassen sich die Quasi-Fermienergien berechnen:



  • Die Fermienergie eines intrinsischen Halbleiters liegt fast genau in der Mitte der Bandlücke. Die kleine Verschiebung nach oben kommt vom Unterschied der effektiven Massen.
  • Hinweis: Durchs Einbauen von Fremdstoffen in den Kristall (Dotieren) kann die Fermienergie E_F in die Nähe einer Bandkante verschoben werden. Dazu später mehr.

  • Die Abhängigkeit der intrinsichen Konzentration freier Ladungsträger von der Temperatur kann verwendet werden, um die Bandlücke E_g eines Halbleitermaterials zu bestimmen: Trägt man ln(n_i) gegenüber 1/T auf, sollte sich eine Gerade mit der Steigung - E_g / (2 k) ergeben. (Da E_g aber eine Funktion der Temperatur ist, ist die Abhängigkeit nicht wirklich linear. Es wurde auch noch nicht erklärt, wie n_i gemessen werden kann. Aber man kann sich ja schon mal merken, dass es "da so ne Methode zur Bestimmung von E_g gibt".)



Erweitertes Massenwirkungsgesetz


  • Den Zusammenhang für das Produkt n p vor der Betrachtung der Sonderfälle können wir als "erweitertes Massenwirkungsgesetz" betrachten:



  • Es stellt den allgemeinen Zusammenhang der Konzentration n und p der beweglichen Ladungsträger dar.
  • Alle äußeren "Störungen" (Beleuchtung, Anlegen einer äußeren Spannung, ...) lassen sich als Änderungen der Temperatur, der effektiven Zustandsdichten oder der Quasi-Fermienergien auf der rechten Seite des Massenwirkungsgeseztes "verwursten".
  • Eine Energiedifferenz kann über den Zusammenhang ΔE = q V in eine Spannung V umgeschrieben werden.
  • In der Literatur ist das "erweiterte Massenwirkungsgesetz" daher häufig in folgender Form zu finden:



  • Die Größe V kann als theoretischer Maximalwert für die an einer Solarzelle abgreifbare Spannung aufgefasst werden.

  • Bei Beleuchtung des Halbleiters werden Elektron-Loch-Paare erzeugt: die Konzentrationen der Löcher im Valenzband und der Elektronen im Leitungsband nehmen zu.
  • Dadurch wird die Fermienergie in die beiden Quasi-Fermienergien aufgespaltet.
  • Der Abstand zwischen den Quasi-Fermienergien ist ein Maß für die Energie, die im Vergleich zum Gleichgewichtszustand ohne Beleuchtung im Halbleiter gespeichert ist.
  • Das Konzentrationsprodukt n p nimmt exponentiell mit der gespeicherten Energie zu.

  • Es sei noch einmal daran erinnert, dass die Massenwirkungsgesetze, wie sie hier abgleitet wurden, nur im nicht entarteten Fall gelten. Für große Teilchenzahldichten (in Größenordnung der effektiven Zustandsdichten) kann ein angepasstes Massenwirkungsgesetz mit Hilfe der Näherung von Joyce und Dixon abgeleitet werden [W1.1]. Im thermischen Gleichgewicht hat es die Form:




Intrinsische Energie


  • Manchmal ist es praktisch, n und p mit Hilfe der intrinsischen Konzentration n_i und einer „intrinsischen Energie“ E_i aufzuschreiben [PV1.4].
  • Die Energie E_i definieren wir so, dass sie der Fermienergie E_F des intrinsischen Halbleiters im thermischen Gleichgewicht entspricht. Sie liegt in der Nähe der Bandmitte.
  • Die intrinsiche Energie E_i wird manchmal (z.B. in der Software PC1D) als Nullpunkt für die Energieachse verwendet (der ja beliebig gewählt werden kann).
  • Wir gehen von folgenden Ausdrücken aus:



  • Dann können wir einige Umformungen vornehmen:



  • Die Konzentration der Löcher im Valenzband können wir auch mit Hilfe von n_i und E_i ausdrücken:



  • Durch Umstellen erhalten wir auch noch Formeln für die Quasi-Fermienergien in Bezug auf die intrinsiche Energie E_i:




Metalle, Halbleiter und Isolatoren


  • Der Begriff "Halbleiter" wurde schon häufig verwendet, obwohl der noch nicht definiert wurde. Dies soll nun nachgeholt werden.
  • Eine Einteilung von Materialien in die drei Kategorien der Leiter, Halbleiter und Isolaroren kann grob nach ihrem elektrischen Widerstand erfolgen.
  • Der Unterschied lässt sich auf unterschiedliche Bandstrukturen der Materialen zurückführen (Abb. 7.2).

  • Bei der Bandstruktur von Metallen liegt die Fermienergie innerhalb eines Bandes. Dies kann zwei Gründe haben:
  • I. Im Metall sind nicht genug Elektronen vorhanden, um alle verfügbaren Zustände im Band zu besetzen.
  • II. Das Ferminiveau liegt eigentlich zwischen zwei Bändern. Da diese beiden Bänder aber so breit sind, dass sie einander überlappen, ist das Ferminiveau von besetzbaren Zuständen umgeben. (Die Vorstellung der überlappenden Bänder kommt von der Überlegung, dass man Festkörper aufbauen kann, indem ursprünglich getrennte Atome aneinander angenähert werden. Aus den diskreten Zuständen in den Atomen bilden sich dann quasi-kontinuierliche Energiebänder. Die Bänder werden um so breiter, je näher die Atomrümpfe aneinander rücken.)
  • Den Elektronen in Metallen "fällt es leicht", von von besetzten Zuständen auf unbesetzte Zustände zu wechseln.

  • Bei Nichtleitern gibt es ein vollständig besetztes Valenzband, über dem sich ein vollständig leeres Band befindet. Zwischen den Bändern gibt es einen großen Energiebereich ohne besetzbare Zustände. Das Ferminiveau liegt zwischen den Bändern.
  • Ein Band, das vollständig leer ist, kann nicht zur Stromleitung beitragen. Ein vollständig gefülltes Band kann auch nicht zur Stromleitung beitragen. Es gibt keine nahe gelegenen, freie Energiezustände, zu denen ein Elektron wechseln könnte. Die Elektronen können keine Energie aufnehmen und keinen Strom leiten.

  • Ein Halbleiter ist am absoluten Nullpunkt ( T = 0 K ) im Prinzip auch ein Isolator. Die Energielücke zwischen dem vollen und dem unbesetzten Band ist aber kleiner. Bei höheren Temperaturen ist die ursprüngliche Rechteck-Fermiverteilung weit genug „verschmiert“, um eine teilweise Besetzung des oberen Bandes und eine teilweise Entleerung des unteren Bandes zuzulassen.


ferminiveau-2.PNG

Abb. 7.2: Vereinfachte Bandstrukturen von Metallen, Isolatoren und Halbleitern.