Wellen

Wellen


x Wieso Wellen interessant sind
x Beschreibung von Wellen
x Dispersionsrelation (Bandstruktur)
x Gruppengeschwindigkeit
x Effektive Massen
x Geschwindigkeit von Elektronen
x Mechanische Wellen


Wieso Wellen interessant sind


  • Wellen sind Schwingungen, die Energie transportieren können, und bei Solarzellen geht es um Energietransport.
  • Photonen, Elektronen und Löcher besitzen Welleneigenschaften und wir möchten die Eigenschaften der (quantenmechanischen) Teilchen in Solarzellen halbwegs verstehen.
  • Mit Hilfe der Wellenbeschreibung von Elektronen lässt sich die Zustandsdichte in Halbleitern ableiten, die wir für die Berechnung von Teilchenzahlkonzentrationen und Quasi-Fermienergien benötigen.


Beschreibung von Wellen


Die folgenden Überlegungen richten sich vor allem nach den Darstellungen in [Hecht], wo die Grundlagen zu Wellen noch ausführlicher als hier beschrieben werden.
  • Eine Welle kann als eine Art Störung betrachtet werden, die sich mit zunehmender Zeit durch den Raum bewegt.
  • Die Störung Ψ ist eine Funktion der Zeit und des Orts; wenn wir z.B. nur eine Ortskoordinate betrachten: Ψ = f(x, t).
  • Die Form der Störung zu einem bestimmten Zeitpunkt, z.B. t = 0 kann gefunden werden, indem die Zeit bei dem entsprechenden Wert konstant gehalten wird:



  • Diese Funktion repräsentiert das Profil der Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt. Für ein Gaußprofil lautet die Funktion z.B. (dabei ist a eine Konstante):



  • Die Zeit konstant zu setzen bedeutet etwa, "ein Foto von der Welle zu machen", wenn sie gerade vorbei wandert.
  • Wir beschränken uns hier zunächst auf (die mathematische Beschreibung von) Wellen, bei denen sich das Profil mit der Zeit nicht ändert, wenn sie sich ausbreiten. Abb. 4.1 zeigt ein Gaußprofil zu verschiedenen Zeiten in einem ruhenden Koordinatensystem S.



Abb. 4.1: Ausbreitung einer Welle.

  • Nach einer Zeit t ist das Profil eine Strecke s = v t entlang der x-Achse gewandert. In Bezug auf alle anderen Eigenschaften bleibt die Welle gleich.
  • Wir führen nun ein bewegtes Koordinatensystem S' ein, das sich zusammen mit dem Puls mit der Geschwindikgeit v bewegt.
  • In diesem System ist Ψ keine Funktion der Zeit mehr. Die Funktion der neuen Koordinate x' ist eine stationäre Funktion Ψ = f(x').
  • Die Störung sieht in S' zu jedem Zeitpunkt so aus, wie sie zum Zeitpunkt t = 0 in S ausgesehen hat, als S und S' noch einen gemeinsamen Ursprung hatten.


WelleKoordinaten.png

Abb. 4.2: Translation eines Koordinatensystems.

  • Wir möchten die Funktion nun in Abhängigkeit von x darstellen, so wie sie ein ruhender Beobachter im Koordinatensystem S beobachten würde. Aus Abb. 4.2 kann man entnehmen, dass folgende Koordinatentransformation gilt: x' = x - v t.
  • Durch Einsetzen erhalten wir den Zusammenhang: Ψ(x, t) = f(x - v t)
  • Dies ist die allgemeinste Form der eindimensionalen Wellengleichung. Wir müssen nur ein gewünschtes Profil f(x') auswählen und dann x' durch x - v t ersetzen. Das Ergebnis beschreibt dann eine Welle mit dem gewünschten Profil, die sich in positiver x-Richtung mit der Geschwindigkeit v ausbreitet.
  • Wenn man x durch x + v t substituieren würde, würde sich die Welle in die negative x-Richtung ausbreiten.
  • Als eindimensional bezeichnen wir die Welle, weil sie durch Punkte läuft, die auf einer geraden Linie liegen. Das gilt z.B. auch für eine eindimensionale Seilwelle, auch wenn sich das Seil bei der Auslenkung in einer zweiten Dimension bewegt. Zur Beschreibung der Welle ist nur eine Ortskoordinate nötig.

  • Man kann zeigen, dass sich jedes Wellenprofil als eine Überlagerung von harmonischen Wellen (sin- oder cos-Wellen) darstellen lässt. Deshalb und wegen ihrer relativ einfachen mathematischen Beschreibung kommt diesen Wellen eine besondere Bedeutung zu.
  • In der Realität gibt es keine echten Sinuswellen, da jede reale Welle irgendwann erzeugt wurde und ihre Wellenfunktion nicht bis t = -∞ zurück reicht.
  • Zur Beschreibung von wirklichen Photonen und Elektronen reicht deshalb eine einzige Sinuswelle mit bestimmter Frequenz und Wellenlänge eigentlich nicht aus. Trotzdem sind Sinus- und Cosinusfunktionen für ihre mathematische Beschreibung sehr nützlich.
  • Wir wählen als Profil eine sin-Funktion f(x') = A sin(k x')
  • Der Faktor k ist nötig, weil das Argument der Sinusfunktion die Einheit 1 haben muss. Selbst hat k also die Einheit 1/m und das Argument der Sinusfunkton ist das Verhältnis zweier Längen.
  • Der Sinus kann maximal den Wert 1 annehmen, dann nimmt f(x') den Maximalwert A an, der als maximale Amplitude (oder in mancher Literatur auch nur als Amplitude = maximale Auslenkung) bezeichnet wird.
  • Wir ersetzen dann x' durch x - v t, um die Beschreibung einer Welle zu erhalten, deren Profil sich mit Geschwindigkeit v in positive x-Richtung ausbreitet:



  • Wenn man x oder t konstant hält, ergibt sich jeweils eine Sinusfunktion: Die Welle ist sowohl räumlich als auch zeitlich periodisch. Die Ausdehnung der räumlichen Periode bezeichnen wir als Wellenlänge λ und die der zeitlichen Periode als Periodendauer T.
  • Das Argument der Sinusfunktion nennen wir Phasenwinkel φ, oder kurz Phase.
  • Wenn man zur Phase 2π addiert, nimmt der Sinus wieder den gleichen Wert an. Daher gelten die Zusammenhänge λ = 2π/k und T = 2π/(k v).
  • Der Betrag der Änderungsrate des Phasenwinkels φ mit der Ortskoordinate x beträgt:



  • Der Betrag der Änderungsrate des Phasenwinkels mit der Zeit t wird als Kreisfrequenz oder Winkelgeschwindigkeit ω bezeichnet und beträgt:



  • Den Kehrwert ν der Periodendauer bezeichnet man als Frequenz: ν = 1/T, den Kehrwert κ der Wellenlänge als Wellenzahl: κ = 1/λ.
  • Um Verwechslungen zwischen k und der Wellenzahl ("Wavenumber") κ zu vermeiden ( k = 2πκ ), sprechen wir bei k immer vom Wellenvektor, oder genauer: vom Betrag des Wellenvektors k. Da wir oft eindimensionale Wellen untersuchen, bezeichnen wir die skalare Größe k selbst manchmal als Wellenvektor.
  • Wegen der Vielzahl an gebräuchlichen Größen gibt es verschiedene, äquivalente Darstellungen von Wellen:



  • Mit Hilfe der Zusammenhänge E =ħ ω und p =ħ k könnten wir uns noch weitere Darstellungen für die Wellen einfallen lassen.
  • Besitzen die Vorfaktoren von x und t wie in den obigen Beispielen verschiedene Vorzeichen, breitet sich die Welle in positiver x-Richtung aus; besitzen die Vorfaktoren das gleiche Vorzeichen, läuft die Welle in die entgegengesetze Richtung.
  • Der Phasenwinkel muss zum Zeitpunkt t = 0 nicht unbedingt null betragen. Es kann auch eine Phasenverschiebung φ_0 geben:



  • Wie kann man bei einer vorgegebenen Welle die Geschwindigkeit des Profisl ermitteln? Für die partiellen Ableitungen einer Funktion g(x(t), t) = const. gilt allgemein der Zusammenhang:



  • Das können wir auf die Welle Ψ unter der Bedingung konstanter Phase φ = const. anwenden:



  • Dies ist die Geschwindigkeit v, mit der sich das Profil bewegt und von der wir ursprünglich ausgegangen sind. Diese Geschwindigkeit wird auch als Phasengeschwindigkeit bezeichnet, oder als "Geschwindigkeit, mit der sich die Bedingung konstanter Phase bewegt". (Bitte die Phasengeschwindigkeit nicht mit der Winkelgeschwindigkeit verwechseln! [ω] = 1/s ≠ m/s = [v] )

  • Bewegt sich die Welle in mehr als einer Dimension, reichen x und k zur Beschreibung der Ortsabhängigkeit nicht mehr aus. Wir führen dann den Ortsvektor x und den Wellenvektor k ein.
  • Als "ebene Welle" bezeichne wir eine Welle, für die die Bedingung konstanter Phase φ = const. für alle Punkte auf einer Ebenenschar erfüllt ist. Die Gleichung einer Ebenenschar kann als Skalarprodukt geschrieben werden: a x = const. Eine harmonische, ebene Welle hat die Form:



  • Als weiteres Beispiel für eine Welle im dreidimensionalen Raum ist hier noch die Formel für eine Kugelwelle aufgeführt (k_1 = k_2 = k_3 = k):



  • Eine Sinusfunktion kann man in einem Gedankenexperiment wie folgt zusammen basteln: Ein Punkt bewegt sich mit zunehmender Zeit t und konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einem Kreis um den Ursprung. Trägt man die y-Koordinate des Punktes gegenüber der Zeit auf, erhält man ein Diagramm der Sinusfunkton . Trägt man dagegen die x-Koordinate des Punkts auf, erhält man eine Kosinusfunktion als "Projektion der Kreisbewegung".
  • Der Punkt auf dem Einheitskreis wird durch seine x- und y-Koordinate beschrieben. Statt dessen kann man auch die Entfernung A vom Ursprung einen Winkel φ angeben. Diese beiden Koordinaten, welche die Informationen der Welle beinhalten, lassen sich statt in der Form (A, φ) oder A sin φ auch mit Hilfe einer komplexen Zahl voneinander getrennt (so, dass man die beiden Zahlen nicht verwechselt) aufschreiben:



  • Beim Rechnen mit Hilfe von komplexen Zahlen entfallen meistens trigonometrische Umformungen. Wegen dieser Erleichterung verwenden wir die "komplexe Darstellung" von Wellen:




Dispersionsrelation (Bandstruktur)


  • Der Wellenvektor k beschreibt das räumliche Änderungsverhalten, die Kreisfrequenz ω das zeitliche Änderungsverhalten der Welle. Wie hängen diese beiden Größen zusammen? Wir können vermuten, dass der Zusammenhang von der Art der Welle und vom Medium abhängt, in dem sich die Welle ausbreitet.
  • Den Zusammenhang ω(k) bezeichnet man allgemein als Dispersionsrelation.
  • Unter Dispersion versteht man in der Physik allgemein die Abhängigkeit einer Größe von der Wellenlänge. Speziell die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge wird häuftig als Dispersion bezeichnet. Der Name hat wohl damit zu tun, dass ein Prisma in Abhängigkeit von der Wellenlänge Licht über den Austrittswinkel verteilen kann und dass das lateinische Wort "dispergere" so viel wie "verteilen" bedeutet.
  • Die Energie und die Kreisfrequenz der Elektronenwelle sind über eine Proportionalitätskonstante miteinenader verbunden: E(k) = ħ ω(k). Deshalb wird die Funktion E(k) von Elektronen in Festkörpern häufig auch selbst als Dispersionsrelation bezeichnet.
  • In der Festkörperphysik ist für E(k) auch die Bezeichnung "Bandstruktur" üblich.
  • Die Bandstruktur stellt den Zusammenhang von Energie und Wellenvektor von Elektronen in Festkörpern dar.
  • Da die räumliche Struktur von Festkörpern meist kompliziert ist, ist auch der Zusammenhang E(k) kompliziert.
  • Zur Darstellung von E(k) sind Schnitte des dreidimensonalen Zusammenhangs üblich: Die Energie wird jeweils nur in Abhängigkeit einer k-Koordinate, in Bezug auf eine bestimmte Richtung im Festkörper, dargestellt.
  • Die Dispersionsrelation von Elektronen in Festkörpern ist recht kompliziert. Für eine bestimmte Energie kann es unterschiedliche Wellenvektoren geben: Elektronenwellen, die sich in verschiedene Richtungen bewegen, können die gleiche Energie besitzen.
  • Es muss nicht für jede Energie ein Wellenvektor existieren. Für manche Energien bietet die Schrödingergleichung, die die Elektronenwellen beschreibt, keine Lösungen mit reellem k an. Dann entstehen "Energielücken" in der Dispersionsrelation. (Die dann komplexe Zahl k "sorgt dafür", dass die Wellenfunktion eines ankommenden Elektrons mit der Energie E im Medium exponentiell abfällt. Das Elektron wird vom Festkörper reflektiert.)
  • Umgekehrt kann man einem Wellenvektor auch nicht immer genau eine Energie zuordnen.
  • Für die Schrödingergleichung können bei einem bestimmten Wellenvektor mehrere Lösungen für die Kreisfrequenz und damit für die Energie existieren. Das Banddiagramm hat dann mehrere "Zweige". Wie mehrere Zweige entstehen können, wird weiter unten plausibel gemacht.
  • Einen Schnitt eines Zweiges von E(k) bezeichnet man auch als "Band". In Abb. 4.3 ist eine (berechntete) Dispersionsrelation von Elektronen in Silizium zu sehen. Die kryptischen Symbole an der k-Achse stehen für verschiedene (Symmetrie-)Richtungen im Festkörper.


BandstrukturSilizium.PNG
Abb. 4.3: Bandstruktur von Silizium [Wikipedia].

  • Im Gegensatz zur Dispersionsrelation von Elektronen in Festkörpern ist die Dispersionsrelation von Photonen im Vakuum etwas einfacher aufzuschreiben. Aus den Maxwellgleichunge lässt sich eine Wellengleichung herleiten (siehe z.B. [Hecht]). Die ebenen Sinuswellen sind Lösungen dieser Wellengleichung, wenn für ω und k folgender Zusammenhang gilt:


  • Die Phasengeschwindigkeit v = ω / k entspricht für Photonen im Vakuum also der Lichtgeschwindigkeit c. Die Kreisfrequenz ω ist proportional zum Betrag des Wellenvektors.
  • "Von elektromagntischen Wellen sind wir gewohnt, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz ist. Wenn rotes Licht sich schneller als blaues ausbreiten würde, würde man einen Blitz aus weißem Licht zuerst als Rot, dann als Weiß und schließlich als Blau sehen. Licht breitet sich in Luft mit einer Geschwindigkeit aus, die praktisch unabhängig von der Frequenz ist." [Feynman 1, S. 662]

  • Wenn man eine kompliziertere Dispersionsrelation (näherungsweise) durch eine Ursprungsgerade ω(k) =v k beschreibt, kann man das als "Debye-Modell" für die Dispersionsrelation bezeichnen.
  • Im sogenannten "Einsteinmodell" wird für die Dispersionsrelation ein konstanter Wert angenommen: ω = ω_0.
  • Diese Näherungen finden Anwendung bei der Beschreibung von mechanischen Wellen (Phononen) in Festkörpern und der Ableitung von Wärmekapazitäten.
  • Die Dispersionsrelation von Elektronen werden wir später näherungsweise mit quadratischen Funktionen beschreiben.

  • Wie schnell breiten sich Elektronen in Festkörpern aus? Diese Frage ist nicht so leicht wie bei den Photonen im Vakuum zu beantworten.
  • Zur Beantwortung der Frage brauchen wir unter anderem die Konzepte der Gruppengeschwindigkeit und der effektiven Masse.
  • Die Gruppengeschwindigkeit v_g kann als "erste Ableitung" der Dispersionsrelation nach dem Wellenvektor definiert werden. Mit Hilfe der "zweiten Ableitung" lässt sich die sogenannte "effektive Masse" m* definieren:



  • Mehrdimensional lauten die Definitionen (ħ/m* ist ein Tensor; die effektive Masse m* ist richtungsabhängig):



  • Für den Sonderfall, dass ω proportional zu k ist, entspricht die so definierte Gruppengeschwindigkeit der Phasengeschwindigkeit: v_g = dω / dk = ω / k = v.
  • Woher kommt aber die "Gruppe" in der Bezeichnung "Gruppengeschwindigkeit" für die erste Ableitung der Dispersionsrelation ω(k) (von der Einheit her stimmt es wenigstens: [v_g] = 1/s / 1/m = m/s)? Was hat eine Masse mit der zweiten Ableitung einer Kreisfrequenz zu tun und was soll das "effektiv" bitte schön bedeuten?


Gruppengeschwindigkeit


  • Um eine Welle mit einem Pulsförmigen Profil ähnlich wie in Abb. 4.1 zu erzeugen, kann man mehrere (evt. unendlich viele) Sinuswellen mit verschiedenen Wellenvektoren geschickt überlagern.
  • Um ein reales Elektron mit Hilfe einer Welle zu beschreiben, reicht ein einziger Wellenvektor (eine monochromatische Welle) alleine nicht aus. Wir nehmen einen schmalen Bereich von Wellenlängen, um eine mittlere Wellenlänge ω herum, um ein Wellenpacket zu bilden.
  • Wenn die einzelnen Sinuswellen des Packets bestimmte Geschwindigkeiten besitzen, mit welcher Geschwindigkeit breitet sich dann das zusammengesetzte Profil aus?
  • Um diese Frage zu beantworten betrachten wir den Sonderfall der Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Amplitude und kleinem Unterschied in den Wellenvektoren.
  • Angenommen, wir reiten auf einer eindimensionalen Welle und beobachten eine zweite Welle. Wir sitzen auf einem Wellenkamm und direkt gegenüber ist auch ein Wellenkamm. Wenn die zweite Welle die gleiche Geschwindigkeit wie unsere hätte, blieben die Wellenkämme Kopf an Kopf.
  • Für die Wellen soll eine nichtlineare Dispersionsrelation gelten, z.B. der quadratische Zusammenhang ω(k) = C k^2, wobei C eine Konstante ist.
  • Da k über die Dispersionsrelation mit ω verknüpft ist, unterscheiden sich dann auch ihre jeweiligen Phasengeschwindigkeiten v = ω / k (z.B. = C k).
  • Wenn die Geschwindigkeit der anderen Welle ein klein wenig anders ist als unsere, holt die andere Welle auf oder sie bleibt hinter uns zurück, während wir voranreiten.
  • Was passiert mit der Summe der beiden Wellen, wenn die Zeit weiter läuft? Zwei Sinuswellen mit unterschiedlichem Wellenvektor und ihre Summe werden in Abb. 4.4 zum Zeitpunkt t = 0 dargestellt.



Abb. 4.4: Überlagerung von zwei Wellen.

  • Wir schreiben die beiden Wellen als komplexe Zahlen auf:



  • Die Phasenterme können wir so etwas aufblähen (symmetrisieren):



  • Das können wir verwenden, um beim Addieren einen Term auszuklammern:



  • Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass cos a = [exp(ia) + exp(-ia)] / 2.
  • Für die halben Summen und Differenzen der Phasen schreiben wir:



  • Damit hat das Ergebnis die Form:



  • Es kommt eine Welle mit der mittleren Frequenz ω heraus, multipliziert mit einer "Modulationswelle". Die Phasengeschwindigkeit dieser Modulationswelle beträgt v_g = Δω / Δk und wird als Modulationsgeschwindigkeit oder Gruppengeschwindigkeit bezeichnet.
  • Die Wellenvektoren und Kreisfrequenzen der beiden Wellen sollen sich jeweils nur sehr wenig unterscheiden. (Wir hatten ja einen schmalen Wellenlängenbereich um die mittlere Frequenz ω gewählt.) Deshalb dürfen wir für die Modulationsgeschwindigkeit auch schreiben:



  • Diese Gruppengeschwindigkeit v_g ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Knoten in Abb. 4.4, oder allgemein ein zusammengesetzes Profil, eine "Gruppe von Wellenzügen", ein Wellenpacket, eine Modulation, die "Einhüllende", ausbreitet.
  • Diese Geschwindigkeit können wir als Geschwindigkeit des Elektrons interpretieren, das durch ein Wellenpacket beschrieben wird.
  • Die Gruppengeschwindigkeit ist die Ableitung der Dispersionsrelation bei der mittleren Wellenlänge ω und die Phasengeschwindigkeit ist der Quotient ω / k. Dies wird in der schematischen Dispersionsrelation in Abb. 4.5 grafisch dargestellt.
  • Ein Applet zur Gruppengeschwindigkeit gibt es hier.
  • Wenn der Bereich der Wellenvektoren "breiter" ist (Δk ist groß), wird es durch die Dispersionsrelation größere Unterschiede in den Geschwindigkeiten der einzelnen Wellen geben. Das führt dann dazu, dass das Profil mit der Zeit "auseinanderläuft". Je schärfer das Elektron anfangs im Ort lokalisiert ist, desto breiter ist der nötige Bereich der Wellenvektoren zur Beschreibung des schmalen Wellenpackets. Das Konzept der Gruppengeschwindigkeit wird dann experimentell schwieriger erfassbar.


Geschwindigkeiten.png
Abb. 4.5: Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit.


Effektive Massen


Die zweite Ableitung von ω(k) nach k, also die Krümmung der Dispersionsrelation, haben wir "effektive Masse" genannt. Die Namensgebung kann man sich wie folgt plausibel machen:
  • Die Bewegungsgleichung für ein Elektron im freien Raum können wir schreiben als:



  • Ein Elektron in einem Kristall wird Kräfte durch die Atomrümpfe erfahren. Wir nehmen aber trotzdem an (kann man herleiten, machen wir aber hier nicht), dass wir für Elektronen in einem Kristall eine Bewegungsgleichung mit der gleichen Form verwenden können.
  • Den Einfluss des Kristalls auf die Bewegung des Elektrons könnten wir z.B. durch einen Korrekturfaktor C berücksichtigen. Es ist aber üblicher, diesen Faktor in die Masse des Elektrons zu stecken. Wir führen deshalb eine neue, "effektive" Masse m* ein (m* = C m).
  • Für den Impuls p =ħk und die Kraft F gilt der Zusammenhang: F = dp/dt = ħ dk/dt (kann man herleiten, machen wir aber hier nicht).
  • Die Beschleunigung, die ein Elektron erfährt, können wir auch mit Hilfe der Dispersionsrelation berechnen:



  • Vergleicht man dies mit der obigen Bewegungsgleichung, erkkennt man den Zusammenhang zwischen effektiver Masse und Krümmung der Dispersionsrelation:



  • Ein Elektron in einem Kristall kann mit der gleichen Bewegungsgleichung wie ein freies Elektron beschrieben werden, wenn seine Masse m durch die effektive Masse m* ersetzt wird.
  • Die Effektive Masse kann auch negativ werden. Dies bedeutet dann nur, dass sich das Elektron im Kristall in die entgegengesetzte Richtung bewegt, wie es ein freies Elektron tun würde.
  • Verschiedene Lösungen der Schrödingergleichung können mit verschiedenen effektiven Massen verbunden sein. Es kann deshalb "leichte" Elektronen und "schwere" Elektronen geben. Die Gesamtmasse des Kristalls nimmt aber nicht um die effektive Masse eines Elektrons ab, wenn man ein Elektron aus dem Kristall entfernt. Die Elektronen innerhalb des Kristalls bewegen sich im Vergleich zu freien Elektronen nur etwas anders durch die Gegend, da sie "die Potentiallandschaft der Atomrümpfe sehen".
  • Bei Berechnungen für Solarzellen werden effektive Massen statt der Ruhemasse verwendet.
  • Aus den effektiven Massen der vielen Zweige der Dispersionsrelation kann dazu zunächst eine "mittlere" effektive Masse berechnet werden.
  • Die Bildung des Mittelwertes hängt vom Verwendungszweck der effektiven Masse ab (Tabelle 4.1). Die einzelnen effektiven Massen der jeweiligen Zweige werden je nach mathematischem Zusammenhang unterschiedlich gewichtet.
  • Für die Berechnung von effektiven Zustandsdichten wird das geometrische Mittel der Massen herangezogen. Für die Berechung von Leitfähigkeiten erfolgt die Mitttelung mit Hilfe der Kehrwerte der effektiven Massen. Weitere Informationen dazu gibt es z.B. hier.



Tabelle 4.1: Mittlere effektive Massen in Silizium.


Geschwindigkeit von Elektronen


  • Um die Frage nach der Geschwindigkeit der Elektronen befriedigend zu beantworten, reichen unsere bisherigen Überlegungen leider noch nicht aus. Wenn wir die Geschwindigkeit über alle Elektronen in einem Stück Halbleiter mitteln, sollte null herauskommen. Sonst würde sich der Festkörper fortbewegen oder die Elekronen würden den Festkörper verlassen.
  • Wenn durch den Halbleiter ein (Gleich-)Strom fließt, kann die gemittelte Geschwindigkeit nicht null sein. Wir können uns vorstellen, dass die Elektronen wie Gasteilchen in einer Kammer wild durch den Halbleiter herumflitzen. Bei Stromfluss muss sich vom Gesamteffekt her dann eine mittlere, gerichtete Bewegung zwischen den Kontakten ergeben.
  • Wie schnell diese gerichtete Bewegung erfolgt, hängt von mehreren Größen ab.
  • Die "treibende Kraft" für die Bewegung ist der Gradient der Quasi-Fermienergie (des totalen chemischen Potentials).
  • Wie schnell sich die Elektronen bewegen, hängt aber auch davon ab, wie mobil sie sind.
  • Wenn ein Elektron nicht frei beweglich ist, wird es nicht zum Stromfluss beitragen.
  • Die "Mobilität" oder Beweglichkeit der "freien" Ladungsträger hängt davon ab, wie rein der Kristall ist.
  • Wenn die periodische Kristallstruktur durch Fremdstoffe oder Kristallbaufehler gestört ist, werden manche Elektronenwellen reflektiert oder gestreut.
  • Es gibt dann einen mehr oder weniger großen Widerstand gegen den gerichteten Strom durch den Halbleiter.
  • Mehr zur Beweglichkeit gibt es in einem extra Kapitel.


Mechanische Wellen


Es wurde gesagt, dass es in einer Dispersionsrelation mehrere Zweige geben kann. Dies wird nun anhand von mechanischen Schwingungen einer eindimensionalen Kette plausibel gemacht. Die Rechnung ist etwas lang, und für das Verständnis von Solarzellen nicht unbedingt erforderlich. Da aber so schöne Bildchen (Abb 4.7) für die Dispersionsrelation von Phononen rauskommen wird die Rechnung hier vorgeführt.


lineareKette.png
Abb. 4.6: Lineare Kette aus Kugeln und Federn.

  • Wir betrachten eine Kette von Kugeln, die mit Federn verbunden sind (Abb. 4.6).
  • Zwischen Kraft und Auslenkung der Federn soll es einen linearen Zusammenhang geben.
  • Es gibt zwei verschiedene Kugelarten mit den Massen m_1, m_2 und zwei verschiedene Federarten mit den Federkonstanten C_1, C_2, die in der Kette jeweils abwechselnd auftauchen.
  • Dieses Kugel-und Federmodell kann zur Beschreibung von mechanischen Schwingungen von Kristallen verwendet werden, wenn man bestimmte Näherungen macht. Der lineare Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung entspricht einem parabelförmigen Energiepotential. Man würde auch davon ausgehen, dass ein Gitteratom nur jeweils die Kraft der direkt benachbarten Gitteratome verspürt usw.
  • Die Kraft auf die Kugel mit dem Index s und Masse m_1 ergibt sich aus den Auslenkungen {v_s - u_s} und {v_(s - 1) - u_s} der benachbarten Federn und deren Federkonstanten:



  • Für die Kraft gilt auch F = m a:



  • Ähnliches gilt auch für die Kugeln mit der anderen Masse, so dass wir folgende Differentialgleichungen erhalten:



  • Für die Auslenkungen der Kugeln raten wir folgende Lösungsansätze:



  • Für andere Indize ist s entsprechend durch s+1 ect. zu ersetzen.
  • Diese Lösungsansätze setzen wir in die Differentialgleichungen ein, um Lösungsbedingungen für die Wellen zu erhalten: die Dispersionsrelation.



  • Ableiten und kürzen ergibt:



  • Das sortieren wir um:



  • Dieses Gleichungssystem hat nur Lösungen, wenn folgende Bedingung für die Determinante gilt:



  • Das multiplizieren wir aus:



  • Dann führen wir noch ein paar Abkürzungen ein:



  • Und erhalten die Gleichung:



  • Für diese Gleichung gibt es zwei Lösungen, die beiden Zweige der Dispersionsrelation (symbolisch ein einem Vektor zusammengefasst):



  • Die negativen Werte der Kreisfrequenz brauchen wir für die Physik nicht. An den interessanten Stellen k = 0 und k = π/a ergeben sich die Werte:



  • Diese Dispersionsrelation für mechanische Wellen einer linearen Kette wird in Abb 4.7 dargestellt.
  • So bald sich die Massen oder die Federkonstanten unterscheiden, entsteht eine "Lücke" in der Kreisfrequenz.
  • Der Zweig, der durch den Ursprung verläuft, wird manchmal auch als akustischer Zweig, der andere als optischer Zweig bezeichnet. (Wenn die Kugeln z.B. ungleiche Ladungen tragen, schwingen sie in einem anregenden elektrischen Feld "gegeneinander". Diese "optischen Phononen" können durch Licht angeregt werden. Bewegen sich die Atome "gemeinsam", ähnelt dies akustischen Schwingungen langer Wellenlänge.)




Abb 4.7: Dispersionsrelation für mechanische Wellen.